关注特殊四边形中最值

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时间:2019-01-08

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1、..关注特殊四边形中的最值与特殊四边形有关的最小值(或最大值)问题,是特殊四边形计算问题的重要题型,它已成为中考中一道靓丽的风景线,现举几例供同学们参考.一、求两线段和的最值ADEPBC图1例1如图1,正方形的面积为12,是等边三角形,点在正方形内,在对角线上有一点,则的最小值为________.解析:连接BP,由正方形的轴对称性知,PD=PB,由“两点之间,线段最短”知,当点P在线段BE上时,PB+PE最小,也即PD+PE最小,此时PD+PE=BE.因为△ABE为等边三角形,所以BE=AB.又因为正方形ABCD的面积为1

2、2,所以AB=,PD+PE最小值为.说明:求两条线段和的最小值问题,通常是根据轴对称的性质,把两线段的和转化为某两点之间的连线,再运用“两点之间,线段最短”的性质求解.二、求周长的最值图2ABE图3DC例2如图2,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是.解析:当两个矩形的一条对角线完全重合时,重叠部分的菱形的周长最大,如图3,这时只要求得菱形的边长即可.设BE=x,则AE=8-x,在Rt△ABE中,由勾股定理,得22+(8-x)2=x

3、2.解得x=.所以菱形周长的最大值为.说明:在解决与特殊四边形有关的计算问题时,经常要用到方程思想.三、利用最值解题图4例3如图4,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD的边AP上的高为______.解析:如图5,延长AB到A′,使BA′=AB,连接DA′交BC于点P资料..,作DE⊥BC于E,DF⊥AP于F.由轴对称的性质及“两点之间,线段最短”知,此时的点P,使得PA=PA′,PA+PD取得最小值,其值为线段AA′的长.ABCDPE

4、FA′图5因为梯形ABCD为直角梯形,所以四边形ABED为矩形,所以DE=AB=BA′,BE=AD=2,EC=3.又∠PBA′=∠PED=90°,∠BPA′=∠EPD,所以△BPA′≌△EPD,所以PA′=PD=PA,PE=PB=1.在Rt△CDE中,因为DC=5,EC=3,所以DE=4.在Rt△DEP中,因为DE=4,PE=1,所以AP=DP=.在△APD中,由三角形面积公式,得AP×DF=AD×DE,即×DF=2×4.所以DF=.说明:本题以两线段和的最小值为载体,很好地考查了直角梯形的性质、轴对称的性质、全等三角形及

5、勾股定理等诸多知识点,具有较强的综合性.解题的关键是确定使PA+PD取最小值的点P的位置.资料..利用勾股定理确定最短问题我们知道,两点之间线段最短,但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小,现介绍一种方法,用勾股定理确定最短问题.例1(恩施自治州)如图1,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是()图25201510CAB图1③②④①A.5 B.25 C.10+5 D.35分析 根据“两点之间,线段最短”和“勾股定理”,蚂蚁如果

6、要沿着长方体的表面从点A爬到点B,较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条.解 依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B,有如图2所示的4种粗线情形,其中图①中粗线的长度为的=5,图②中粗线的长度为的=25,图③中粗线的长度为的+5=10+5,图④中粗线的长度为的5+20+10=35,显然35>5>10+5>25.故应选B.说明 在立体图形上找最短距离,通常要把立体图形转化为平面图形,即转化为表面展开图来解答,但是不同的展开图会有不同的答案,所以要分情况讨论.例2(青岛市)如图1,长

7、方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要___cm;如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要___cm.图2BABA6cm3cm1cm图1资料..分析 要求最短细线的长,得先能确定最短线路,于是,可画出长方体的侧面展开图,利用两点之间线段最短,结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1),同样可以用勾股定理求解.解 如图2,依题意

8、,得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时,最短距离为AB,此时,由勾股定理,得AB==10,即所用细线最短为10cm.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1),即8n,由勾股定理,得=,即所用细线最短为cm,或2cm.说明 对于从

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