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1、第六章定积分的应用定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力.也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善.因此，在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法——微元法，不断积累和提高数学的应用能力.第一节定积分的元素法（微元法）1、复习：求曲边梯形的面积：①分割：将区间任意划分成几个小区间每个区间长度为，经每个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成几个窄曲边梯形。②近似代替：在每个小区间上任意取一点，以为底
2、，为高，得到窄矩形面积，用近似代替窄曲边梯形的面积。③求和：④取极限：A=２、若实际问题中的所求量U符合条件：①U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量②U对于区间[a,b]具有可加性，即[即若[a,b]分成几个部分区间，则U为各部分区间相应量的和]③部分量的近似值可表示为，则可以考虑用定积分表达此量U。17３、元素法可求平面图形面积S，旋转体的体积V，平面曲线的弧长等等４、元素法的步骤：①根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，②任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元；
3、 ③以为被积表达式，在区间上作定积分，为所求。17第二节定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1、直角坐标系下平面图形的面积讨论定积分的几何意义直角坐标情形讨论定积分步骤：1、画出平面图形，求出各交点，从而确定的范围，[a,b](对称图形可先计算一部分)2、取x为积分变量，相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]上的窄条面积近似于矩形面积：取为,得面积元素：3、求，即为所求面积。若图形为两曲线，及，所围成，则注：①为计算方便,有时可取y为积分变量,在[c,d]上，则17②利用定积分区间的可加性，，如例2例1：计算由所围成的图形的面积解：如图
4、：求交点因即（0，0），A（1，1）选为积分变量、积分区间为[0，1]，面积元素，故A==。注：计算两条曲线所围图形面积时，例2：计算y2=2x,与直线y=x-4所围成图形的面积解：如图：交点得交点为作法1：取y为积分变量，则面积元素：故作法2：取为积分变量，则面积元素：，，17则：A=+例3:求椭圆所围成的图形的面积。解：因，，可设，，0≤≤，故，时，=0，所以，注：若曲边梯形的曲边由参数方程给出，则由x积分区间[a,b]得t的积分[]（，），故2、极坐标系下平面图形的面积设曲线的方程由极坐标形式给出，则由曲线，射线和所围成的曲边扇形的面积为
5、 所求曲边扇形的面积计算曲边扇形面积的步骤：1、作图，选取为积分变量，其变化区间为[]2、把[]的任一小区间记为[]，则用此区间上的圆扇形面积近似代替窄曲边扇形面积，即。173、以为被积表达式，在[]上作定积分，便得曲边扇形面积例4：计算阿基米德螺线（即匀速螺线）（a＞0）上相应于从0变到的一般弧与极轴所围成的图形的面积解：取为积分变量，变化区间[0，2]，则，故A=例5：计算心形线所围成图形的面积解：选为积分变量，则，选[0，]为积分区间，则,故，所以注：对称图形计算一部分面积即可二、体积1.旋转体的体积1）旋转体：由一个平面图形绕平面内一
6、条直线旋转一周而成的立体，此直线为旋转轴例：圆柱、圆锥、圆台、球体即：旋转体可以看作是由①连续曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕17轴旋转一周而成的立体。②由曲线，直线与轴所围成的图形绕y轴一周而成的旋转体。2）计算旋转体体积：①由,及轴围成的图形绕轴旋转而成的立体。选取为积分变量，积分区间[a,b]取任一小区间为相应于此区间上的窄曲边梯形绕轴一周而成的薄片体积用扁圆柱体体积近似代替，即 所以注：若由两条曲线，则②由，，与轴所围图形绕轴一周而成的旋转体。选轴为积分变量，积分区间[c,d] ，在区间[y,y+dy]上旋转体体积，则例6、连接坐标原点
7、O及点的直线，直线及轴围成一个直角三角形，将它绕轴旋转构成一个底半径为，高为h的圆锥体，求体积解：直线OP为：，故设x为积分变量，则，选取任一小区间[x,x+dx]，则所以。例7、计算由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体17（旋转椭球体）的体积解：选为积分变量，当时旋转椭球体就成为半径为的球体，体积为例8、计算由摆线x=a()y=a(1-cost)的一拱，直线y=0所围成的图形分别绕x轴，y轴旋转而成的旋转体的体积。解:t=0时,x=0,y=0时，，时，，；时，，。绕轴=绕轴，故17由，=故原式=-=2、平行截面面积为已知的立体体积若一立体不是
8、旋转体，但该立体上垂直于一定轴的各截面面积为已知，如图作垂直于轴的垂直平面，截立体截面面积为连续函数，，则立体体积=即在[x,x+dx]
