排列组合（一）_设计

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题排列组合（一）编稿老师宋玲玲一校林卉二校黄楠审核张舒在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，这就是排列问题。在排列的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。日常生活中有很多“分组”问题。如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等。这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题。排列：一般地，从n个不同的元素中任取m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。由排列的定义可以看出：两个排列相同，不仅

2、要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后次序也必须一样。如果这两个排列的元素不完全相同或者各元素的排列顺序不完全一样，则它们就是两个不同的排列。排列数公式：从n个不同的元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，记作。。当m＝n时，叫做n个不同元素的全排列，。组合：一般地，从n个不同的元素中任取m个（m≤n）元素组成不考虑组内各元素次序的一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。从组合的定义可以看出：两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关，只有当两个组合中的元素不完全相同

3、时，才是不同的组合。从n个不同的元素中任取m个（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个不同元素的组合数，记作。。研究排列和组合的两个基本原理：（1）加法原理：做一件事可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。（2）乘法原理：做一件事需要n类步骤，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。要注意这两个原理的区别：要完成一件事若是有n类办法，则是分类问题，第一类

4、办法都是独立的，此类问题应该使用加法原理；做一件事，如果需要分n个步骤，并且步与步之间是连续的，只有将这n个相互联系的步骤依次相继完成，这件事才算完成，这样的问题就要用乘法原理来解决。例1用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字能够组成多少个没有重复数字的四位数？分析与解：用这10个数字排列成一个没有重复数字的四位数时，千位上不能是0，所以千位共有9种不同的取法，因为千位上已取一个数字，只剩下9个数字了，所以百位上有9种取法。同理，千位上和百位上各取走一个数字，还剩下8个数字，故十位上有8种取法。同理，还剩下7个数字供个位选择。所以能组成没有重复数字的四位数共

5、有9×9×8×7＝4536（个）。例2足球比赛中，进行单循环赛（即每两个队赛一场）。若有8支球队参加，要进行多少场比赛？若有80支球队参加，要进行多少场比赛？分析与解：解法一：8个队都需和另外7个队比赛，即进行8×7场比赛。又由于一场比赛是在两支球队之间进行的，所以比赛进行了8×7÷2＝28（场）。同理，80个队需进行比赛80×79÷2＝3160（场）。解法二：（场）。（场）。答：若有8支球队参加，要进行28场比赛；若有80支球队参加，要进行3160场比赛。例3在一个圆周上有9个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少条不同的线段？多少个不同的三角形、四边形？分析与解：由于

6、9个点全在圆周上，所以这9个点没有“三点共线”的情况，由此只要在9个点中取2个点，就可以画出一条线段；在9个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在9个点中取4个点，就可以画出一个四边形。这3个问题都是组合问题。可以画出线段（条）。可以画出三角形（个）。可以画出四边形（个）。例4从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析与解：首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理。当求从国画、油画中各选一幅有多少种选法时，利用的是乘法原理。由此可知这是一道利用两个原理的综合题。关键是正确把

7、握原理。符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5幅国画中选1幅，第二步再在3幅油画中选1幅。由乘法原理有5×3＝15（种）选法；第二类为国画、水彩画各选一幅，由乘法原理有5×2＝10（种）选法；第三类为油画、水彩各选一幅，由乘法原理有3×2＝6（种）选法。这三类是各自独立发生、互不相干地进行的。因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31（种）。例5一本书从第一页开始编排页码，共用了2349个数字，那么这本书共有多少页？分析与解：按数位进行分类：一位数的页