大一高数复习资料57309

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1、实用标准文案第一章复习x.1函数的极限及其连续性概念：省略注意事项1．无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，是无界变量，但不是无穷大量。因为取时，，当充分大时，可以大于一预先给定的正数；取时，2．记住常用的等价形式当时，例1当时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（1）。（2）。（3）（4）。（）解：因为，所以选择C练习解3．若函数的表达式中包含有（或），则在运算前通常要在分子分母乘以其共轭根式（或），反之亦然，然后再做有关分析运算例2求。解精彩文档实用标准文案当时，又，故练习求解

2、原式＝1．该极限的特点：解题方法（1）若极限呈型，但第二个特点不具备，则通常凑指数幂使（2）成立（2）凡是型未定式，其结果：底必定是，幂可这样确定：设，，则这是因为。例3求。解原式＝因为，所以原极限＝。练习求。精彩文档实用标准文案解原式＝，因为1．几个常用的极限特别地x.2单调有界原理单调有界数列必有极限此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列单调有界；（2）设的极限存在，记为代入给定的的表达式中，则该式变为的代数方程，解之即得该数列的极限。例4已知数列：，求。解用数学归纳法可证得单调增加：，显然。假

3、设成立，于是即成立。显然，从而数列有极限，不妨设。精彩文档实用标准文案由于，两遍去极限得：，即，即得出。根据包号性的推论可知非负，所以。X.3项和的极限求解方法:(1)利用特殊和式求和；（2）利用夹逼定理求极限（个项按递增或递减排列）；例5求解原式例6求。解因为，而，由夹逼准则有＝1X.4项积的极限（1）分子、分母同乘以一个因子，使之出现连锁反应；（2）把通项拆开，使各项相乘过程中中间项相消；（3）夹逼定理（4）利用对数恒等式化为n项和形式。例7当时，求解原式＝精彩文档实用标准文案＝＝＝练习当时，求解原极限＝＝例8求。解因为X

4、.5有关闭区间上连续函数的命题的证明证明方法有两种1．直接法其程序是先利用最值定理，再利用介值定理精彩文档实用标准文案例1设在上连续，且，证明：在内至少存在一个使得，其中为任意正常数证因为在上连续所以在上有最大值与最小值由于，且，于是有从而即。由介值定理，在上至少存在一个，使得1．间接法（己辅助函数法）其程序是先作辅助函数，验证满足玲芝定理条件，然后由零值定理得出命题的证明。辅助函数的作法：（1）把结论中的（或）该写成；（2）移项，使等式右边为零，令左边的式子为，此即为所求的辅助函数例2设在上连续，且，证明：在上至少存在一个，

5、使得。证令显然，在上连续，注意到，故精彩文档实用标准文案当时，可取为a或0，而当时，有由零值定理可知存在一个，使得，即X.6极限的求法1．约简分式的方法求极限都是正整数）2．有理化分子和分母求极限3．利用自然数求和求极限4．利用基本极限求极限5．利用基本极限求极限6．利用单调有界数列必有极限求数列的极限习题课一例1试用极限的“”定义证明：。证，要使，只要精彩文档实用标准文案，即。因此，可取，那么对一切，恒有即。例2设，证明数列没有极限。证如果数列有极限，那么它的任何子列都有相同的极限。因此，若能找出的两个具有不同极限的子数列，

6、便知没有极限。由于；，因此数列没有极限。例3用“”定义证明：。证先限制，此时有，或，从而，因此，，要使，只要，于是取，则当适合不等式时，对应函数值恒满足不等式所以。例4设，试确定常数和。解精彩文档实用标准文案左式上式要想极限为0，必须，又分母极限为所以，因此。例5证明：。证因此，由及夹逼定理，即得例6设，证明数列的极限存在，并求其极限。证，设，则。按归纳法可知，对任何的有，即为单调增加的数列。又按归纳法容易证明，故数列有界。因此有极限。设，则，对关系式的两边取极限，便有，即，解得，因为，故，精彩文档实用标准文案不合，因此，即例

7、7设函数在处连续，求常数得值。解由于函数在处连续，根据函数在一点连续的充要条件，应有由于，依上式即有，从而得。例8证明：方程至少有一个不超过得根。证设函数，则又函数在闭区间上连续，故由介值定理有在开区间内至少存在一点，使得。即方程至少有一个不超过得根。工科数学分析1.8实数的连续性实数理论是极限的基础。1.8.1实数连续性定理一、闭区间套定理定理1-6.(闭区间套定理)设有闭区间列，若:（1）（2）则存在唯一数属于所有的闭区间(即,且精彩文档实用标准文案证明由条件（1），数列单调增加有上界，数列单调减少由下界，从而由单调有界原

8、理，数列，都收敛，设，则故。任取，有从而，即属于所有闭区间。假设有属于所有闭区间，从而，有，有，由条件（2），有，即唯一。从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一一个公共点.一般来说,将