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《高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法例题与探究 北师大版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第一章推理与证明3反证法例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.用反证法证明问题的本质反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.也就是说,反证法是由证明pq转向证明:qr…t,t与假设或与某个真命题矛盾,q为假,推出q为真的方
2、法.从逻辑角度看,命题“若p则q”的否定是“若p则q”由此进行推理,如果发生矛盾,那么“若p则q”为假,因此可知“若p则q”为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式
3、矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.2.在证明的过程中如何反设反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下:(1)等于——不等于;(2)大于——小于等于;(3)小于——大于等于;(4)对所有x成立——存在某个x不成立;(5)至少有一个——一个也没有;(6)至多一个——至少两个;(7)至少n个——至多n-1个;(8)至多n个——至少n+1个;(9)p或q——p且q;(10)p且q——p或q.高手支招4典例精析【例1】证明:圆的两条不是直径
4、的相交弦不能互相平分.已知,如图，在⊙O中弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径.求证:弦AB、CD不被P平分.思路分析：利用反证法和圆的性质易证.证明：如下图.假设弦AB、CD被P平分,由于P点一定不是圆心O,连结OP,据垂径定理的推论,有OP⊥AB,OP⊥CD.即过点P有两条直线与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.所以,弦AB、CD不被P平分.【例2】如果a＞b＞0,那么＞.思路分析：由于正面论证不容易,故采用反证法.反证法证明过程中必须对结论的反面的各种情况一一加以否定,才能证明原命题的正确性.本题的
5、＞的反面有=,＜两种情况.证明：假设＞不成立,则≤.若=,则a=b,与已知a＞b矛盾,若＜,则a＜b,与已知a＞b矛盾,故假设不成立,结论＞成立.【例3】如果一个整数n的平方是偶数,那么这个整数n本身也是偶数,试证之.思路分析：由“整数n的平方是偶数”这个条件,很难直接证明“这个整数n本身也是偶数”这个结论成立,因此考虑用反证法证明.证明：假设整数n不是偶数,那么n可写成:n＝2k＋1(k∈Z),则n2＝(2k＋1)2＝4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1.∵k∈Z,∴2k2＋2k∈Z,则2(2k2＋2
6、k)为偶数.那么2(2k2＋2k)＋1为奇数.∴n2为奇数.但这与已知条件矛盾.则假设不成立,故n是偶数.【例4】给定实数a,a≠0且a≠1,设函数f(x)=(x∈R,x≠).求证:经过函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴.思路分析：根据反证法和函数的性质易得.证明：假设命题不成立,即经过函数图像上任意两个不同点的直线平行于x轴,则存在x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),由f(x1)=f(x2)知,化简得ax1-ax2-x1+x2=0,即(a-1)(x1-x2)=0,由x1≠x2知x1-x2≠0,
7、所以a-1=0,a=1与已知矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【例5】已知0＜a、b、c＜1.求证：（1-a）b、（1-b）c、（1-c）a不可能都大于.思路分析：显然本题从正面不易证明,故采用反证法来证.证法一：假设三式同时大于,即有b-ab＞,c-bc＞,a-ac＞.三式同向相乘,得:(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞.而(1-a)a≤,同理:(1-b)b≤,(1-c)c≤.∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤.因此与假设矛盾,故结论正确.证法二：假设三式同时大于,∵0＜a＜1,∴1-a＞0.≥
8、＞=,同理:都大于,三式相加得＞,矛盾.∴原命题成立.【例6】(2007河南郑州模拟)求证:抛物线上任意取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.思路分析：结论为“否定性”的命题,宜用反证法.证明：如图,设抛物线方程为y2=ax(a＞0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)是抛物线上的不同四点,则有=axi,xi=(i=1,2,3,4),于是,kAB=.同理,kBC=,kCD=,
