从“两个数相除”到“生活中的比”

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1、从“两个数相除”到“生活中的比”　　【摘要】透过“比的意义”教学中存在的问题，可以进一步发现“两个数相除又叫两个数的比”这一定义的不合理性。从对这一概念发生发展过程的细致考察，可以澄清它的内涵和外延，在教学上可以从“生活中的比”入手，让学生亲身经历概念的发生过程，进而更好地把握概念本质的教学过程。　　【关键词】比的意义配方生活中的比　　近年来，张奠宙先生发表了一系列关于小学数学教学的研究论文，先生希望一线小学数学教师对他的论点作出回应之心拳拳。笔者读到张先生发表于《教学月刊?小学版》（数学）2015年第3期上的《返璞归真正本清源――“比”不能等同于除法》一文，不由回忆起多年前修订原《现

2、代小学数学》教材（即现浙教版新思维小学《数学》教材）的情境，其时也试图通过研究回答这样的问题：“两个数相除又叫两个数的比”的定义究竟是否合理？数学为什么要引入“比”这一概念？等等。并以此为教材编写和教学研究提供依据。研究得到了与张先生类似的结果，相对而言，我们的研究更多源于教学实践中发现的问题，到达彼岸的过程也要艰难曲折得多。　　在传统“比的意义”的教学中，我们总觉得有一些不尽如人意的地方。教学通常都是这样进行的：　　【案例一】比的意义8　　1.教学两个同类量的比。　　呈现学习材料：某班有男生25人，女生20人。　　师：要表示男生和女生之间的关系，可以求男生是女生的几倍？女生是男生的几

3、分之几？　　列式计算后，教师说明比较两个数量，还有一种表示方法：男生和女生的人数比是25比20，或女生和男生的人数比是20比25。　　这样，以前所学的“几倍”和“几分之几”就可以用“比”统一地加以表示。　　2.教学两个不同类量的比。　　呈现学习材料：一辆汽车3小时行驶120千米。　　师：路程和时间的关系可以用速度（每小时行多少千米）来表示。　　列式计算后，教师说明还可以用“路程和时间的比是120比3”表示路程和时间的关系。　　3.给出比的定义。　　教师先着重说明上面例子都通过两个数相除来表示两个数量间的关系，都可以用比来表示，在此基础上概括出比的意义――两个数相除又叫作两个数的比。　　

4、教师引导学生比较比与除法的区别，说明除法是一种求两个数相除的商的运算，而比则是表示两者之间的相除关系。　　4.教学比的各部分名称和求比值的方法。　　5.提供正例和反例（如球赛中的比分）进一步加深对概念的理解。8　　综观整个教学过程，教师提供信息、发出指令、解释意义，学生读取信息、回应教师、建构理解，在高效传授知识的同时，学生被置于被动应答的状态，缺乏积极参与、主动探索的热情。我们不禁要问：这样的意义接受学习，学生真的感受到学习的“意义”了吗？　　答案显然是否定的。那么，学习“比的意义”的意义究竟何在呢？我们觉得关键是要弄清下列问题：（1）为什么要学习“比”？――既然两个数相除又叫作两个

5、数的比，我们已经有了两个数相除，又何必再去学“比”呢？如果说是为今后学习物理、化学等学科知识之所需，那就把这些学科中“比”的说法改成“相除”的说法也就是了，何苦惹这个麻烦呢？（2）从现在的定义出发，如何解释比与除法的区别？――前者表示一种关系，而后者是运算（事实上，“关系”的内涵比“运算”来得更丰富）。既然两个数相除又叫两个数的比，比表示的当然也就是两个数相除，因此，比和除法是同一回事，哪来区别可言？而在实际教学中，又必须强调比与除法的区别，否则，就无法把化简比与求比值区别开来――比化简后还是一个比，仍然表示两个数之间的关系，而用除法求比值求得的是一个数值。既然无法从定义解释两者的区别

6、，教师的教学就只能是灌输填鸭了。（3）“按比例分配”中的“比”是“比”吗？――如男、女职工人数的比是5∶4。容易理解在职工总人数中，男职工占5份，女职工占4份（其中隐含着这5份、4份中的每一份都相等的前提），如果根据比的意义，将题中的5∶4看成“两个数相除”，反而令人费解，这合理吗？[1]　　进一步的研究得到了与张先生类似的观点，谨摘要如下：（1）“比”是一种关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才要用除法。（2）“比”8是为比例做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”。（3）“比”原本是同类量的比较关系，但是也可以推广到不是同类量的情形。不

7、过，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。（4）不同类量的比，不宜作为“比”的主要情境引入。[2]　　张先生关于“源”“流”的说法就是我们当时所理解的“狭义的比”和“广义的比”（引自《简明数学辞典》等），我们认识到比的概念经历了从“狭义”到“广义”的发展过程，鉴于这一概念的丰富内涵，我们进一步认识到如案例一这样采用直接告知的办法可能不是一个明智的教学选择，让学生充分经历概念的发生发展过程，可能更有利于学生把握概念的本质。与张先生提出的关于