播下种子 静等花开

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1、播下种子静等花开　　使用过高中《数学》必修五（A版，人民教育出版社）的同仁们，讲到第二章“数列”内容时，不知是否与我有同样的感受：本章中原本十分理性的数学知识，竟然在不经意间被巧妙地感性化了.　　具体说来，章头图中花瓣的数目与斐波那契数列自然地融为了一体：百合花3瓣、梅花5瓣、飞燕草8瓣、万寿菊13瓣.看到这样生动的内容，学生们的眼睛都不约而同地亮了起来：没想到娇嫩的花瓣也懂得数列啊！　　再比如，“数列的概念与简单表示法”一节中，三角形数和正方形数都作为引子出现在了教材里，这也是前所未有的.看着那些一个个点阵表示的

2、数，学生们无不感慨：数原来也可以如此具体而有形啊！　　对于教材上如许的细节变化，平日里我关注不多，直到那一节数学课，我才意识到这些变化看似微不足道，却能在学生的心灵深处点燃极其炫目耀眼的火花，有助于他们数学思维的培养和数学视野的开阔，润物细无声般的激发学生的学习兴趣，使学生爱上数学，爱上探求问题和思考问题的乐趣.　　那是一节习题课，教学目的就是解决课后习题中的疑难问题.尤其是第34页B组第1题，我一直笃信这是学生们无法攻克的一道难题.原题是：5　　翻阅教参，教参上只含糊地交待说根据递推公式可求得通项公式.至于具体怎

3、么求，教参没有明言.我也曾请教过同学科的老师，大家都觉得从图中可以观察出这个数列的递推公式是：an=8an-1+1，这样就可以很容易地写出前5项.但是，大家都觉得通项公式在此时出现，似乎有些为时过早，由递推公式求通项公式那些林林总总的东西，还是等学生们接触数列后有了较为深切的感性认识时，再作介绍才比较好.　　那天，胸无成竹的我站在讲台上，不假思索地向学生们问了一句话：“哪位同学愿意讲讲自己的做法？”　　出乎我意料的是，竟有几个学生同时举起了手.　　一个长得比较机灵的男孩子说：“我把数拆开来，发现有些规律.　　a1=

4、1；　　a2=9=1+8；　　a3=73=1+8+64=1+8+82；　　a4=585=1+8+64+512=1+8+82+83；　　……　　于是，就可以归纳出：an=1+8+82+83+……+8n-1，这就是我的解法.”　　这个学生的数感还真是出色，但我又感到学生们并不很满意这样的解法，因为许多学生无法完成这样精准的拆分，仿佛水中花镜中月那样看得到却摸不得.　　又一位学生兴奋地站起来讲他思考的方法：“我利用递推公式进行变形，发现可以写出通项公式.　　a1=1；　　a2=8a1+1=8×1+1=8+1；　　a3=8

5、a2+1=8（8+1）+1=82+8+1；　　a4=8a3+1=8（82+8+1）+1=83+82+8+1；5　　……　　an=1+8+82+83+……+8n-1.　　我很高兴这个学生能无师自通地利用“迭代”这种极为基本的方法，最终解决了问题.更为可贵的是，这个基本方法并非空穴来风，而是该学生深思熟虑的必然结果.对此，其他学生也不免连连点头称是，认为这种方法很值得借鉴.　　就在我心满意足地准备结束提问时，猛然间发现窗边有一个女孩子眼睛里充满了表达的渴求，手臂依旧在高举着.　　看着这个女孩，我想，她真的还有其它解法吗

6、？会不会是她已经在外面因补课而学过了那种由递推求通项的固定方法？　　我示意她站起来说说自己的想法，她说：“老师，这个题可以直接看出结果的.”　　结果直接能看出来？　　怎么看？　　顿时，她成为学生们和我聚焦的中心，大家挂着大大的问号静静聆听她的解释.　　“老师，你看，如图2，　　a1中爷爷辈的方块有一个，a1=1；　　a2中爷爷辈的方块有一个，儿子辈的方块有8个，a2=1+8；　　a3中爷爷辈的方块有一个，儿子辈的方块有8个，因为每个儿子辈的方块周围都有8个孙子辈的，所以孙子辈的方块有82个；　　a3=73=1+8+

7、64=1+8+82；5　　可想而知，a4中爷爷辈的方块有一个，儿子辈的方块有8个，孙子辈的方块有82个，同样每个孙子辈的方块周围也有8个小小孙子辈的，所以小小孙子辈的方块有83个：　　a4=585=1+8+64+512=1+8+82+83；　　就这样排下去，可以得出结论：an=1+8+82+83+……+8n-1.”　　女孩说完后，沉着地落座，教室里却鸦雀无声.几秒钟后，发自肺腑的掌声在教室里骤然响起，热烈而激动，大家都被她的解说折服了.　　课后，我认真地思考着那个女学生的解说，不禁感慨颇深：这样漂亮的解法是凭空而来

8、的吗？是从天上掉下来的吗？不是.这是数与形完美结合、碰撞而出的思想的火花，精妙而生动，令人振奋不已.　　于是，又一次细细地翻看起这本数学教材，我发现，教材中，从章头图的花瓣到沙滩上的三角形数、正方形数；从第30页例题中的“谢宾斯基三角形”，到第33页习题2.1的第5题，都在潜移默化中将数形结合的种子埋藏在了学生的心底，潜滋暗长着，让学生在有意和无意间体悟数与