复合函数知识总结例题

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1、资料复合函数问题一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若AB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.二、复合函数定义域问题:(1)、已知的定义域,求的定义域思路:设函数的定义域为D,即,所以的作用范围为D,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,E为的定义域。例1.设函数的定义域为(0,1),则函数的定义域为_____________。解析:函数的定义域为(0,1)即,所以的作用范围为(0,1)又f对lnx作用,作用范围不变,所以解得,故函数的定义域为(1,e)例2.若函数,则函数的定义域为_____

2、_________。解析:先求f的作用范围,由,知即f的作用范围为,又f对f(x)作用所以,即中x应满足即,解得故函数的定义域为(2)、已知的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以为的定义域。例3.已知的定义域为,则函数的定义域为_________。解析:的定义域为,即,由此得所以f的作用范围为,又f对x作用,作用范围不变,所以.资料即函数的定义域为例4.已知,则函数的定义域为-------解析:先求f的作用范围,由,知解得,f的作用范围为,又f对x作用,作用范围不变,所以,即的定义域为(3)、已知

3、的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,的作用范围为E,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,F为的定义域。例5.若函数的定义域为,则的定义域为____________。解析:的定义域为,即,由此得的作用范围为,又f对作用,所以,解得即的定义域为评注:函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用,则谁的范围是f的作用范围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。三、复合函数单调性问题(1)引理证明已知函数.若在区间)上是减函数,其值域为(c,d),又函数在区间(c

4、,d)上是减函数,那么,原复合函数在区间)上是增函数.证明:在区间)内任取两个数,使因为在区间)上是减函数,所以,记,即.资料因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即,故函数在区间)上是增函数.(2).复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.(3)、复合函数的单调性判断步骤:ⅰ  确定函数的定义域;ⅱ  将复合函数分解成两个简单函数:与。ⅲ  分别确定分解成的两个函数的单调性;ⅳ  若两个函数在对应的区间上的

5、单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数为增函数; 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数为减函数。(4)例题演练例1、求函数的单调区间,并用单调定义给予证明解:定义域单调减区间是设则=∵∴.资料∴>又底数∴即∴在上是减函数同理可证:在上是增函数[例]2、讨论函数的单调性.[解]由得函数的定义域为则当时,若,∵为增函数,∴为增函数.若,∵为减函数.∴为减函数。当时,若,则为减函数,若,则为增函数.例3、.已知y=(2-)在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围.解:∵a>0且a≠1当a>1时,函数t

6、=2->0是减函数由y=(2-)在[0,1]上x的减函数,知y=t是增函数,∴a>1由x[0,1]时,2-2-a>0,得a<2,∴1<a<2当00是增函数由y=(2-)在[0,1]上x的减函数,知y=t是减函数,∴0

7、,∴,∴①当时,增函数,∴∵,∴,∴.②由①、②可知,故存在一.指数函数与对数函数.同底的指数函数与对数函数互为反函数;(二)主要方法:1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;3.比较几个数的大小的常用方法有:①以和为桥梁;②利用函数的单调性;③作差.(三)例题分析:例1.(1)若,则,,从小到大依次为;(2)若,且,,都是正数,则,,从小到大依次为;(3)设,且(,),则与的大小关系是()()()()()解:(1)由得,故..资料(2)令,则,,,,∴,∴;同理可得:,∴,∴

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