高中数学 第三章 函数的应用疑难规律方法学案 苏教版必修1

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1、第三章函数的应用1　指数与指数运算疑点透析1．如何理解n次方根的概念若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：x＝主要性质有：①当n为奇数时，＝a；②当n为偶数时，＝

2、a

3、＝2．如何理解分数指数幂的意义分数指数幂不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体

4、数而定．3．分数指数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为at·as＝at＋s；(at)s＝ats；(ab)t＝at·bt，式中a＞0，b＞0，t、s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但须记准．不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．4．指数幂的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1化简÷.解　原式＝÷＝(aa)÷(aa)＝a＝a0＝1.例2求的值．非常感谢上级领导对

5、我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。解　原式＝＝(3)＝3×＝3＝3.例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.2　解读指数函数的四个难点在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．难点之一：概念指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.例1给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)

6、x；③y＝πx；④y＝xx；⑤y＝22x＋1.其中指数函数的个数是________．分析　根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义．解析　对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．答案　1难点之二：讨论指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是单调增函数；当0＜a＜1时，是单调减函数．例2函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．分析　遇到底数是参数时，应优先分类讨

7、论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.解　当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝，即a2＝，所以a＝；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝，即a2＝，所以a＝.综上可知，a＝或a＝.难点之三：复合非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，

8、应掌握好“同增异减”法则．例3求函数y＝的单调减区间．分析　指数函数与指数型复合函数的区别在于指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．解　由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．令u＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，则y＝()，当x∈[－1，]时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的单调减区间为[－1，]．难点之四：图象指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征是：当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排．当0＜a＜1时恰好相反．例4利用指数函数的图象比

9、较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．分析　可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果．解　如图所示，作出y＝0.7x、y＝0.4x及x＝－0.3的图象，易知0.7－0.3＜0.4－0.3.评注　图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意.3　对数与对数运算学习讲解1．对数的定义一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN，

10、也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种