高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4_3 直线与圆锥曲线的交点学案 北师大版选修2-1

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1、4.3　直线与圆锥曲线的交点学习目标　1.会求曲线的交点.2.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.3.理解弦长公式及其求解与应用.知识点一　两条曲线的交点在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线C1，C2，它们由如下方程确定：C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0.求曲线C1和C2的交点，即要求出这些交点的______.设M(x0，y0)是曲线C1和C2的一个交点.因为点M在曲线C1上，所以它的坐标满足方程f(x，y)＝0；因为点M在曲线C2上，所以它的坐标也满足方程g(x，y)＝0.从而，曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来，该方程组的任何一组

2、实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标.知识点二　直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的三种位置关系当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个交点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有交点时，称直线与椭圆相离.2.直线与椭圆位置关系的判定直线与椭圆位置关系的判定方法和直线与圆的位置关系的判定方法相同，即可以转化为直线与椭圆的方程所组成的方程组的求解问题，从而用代数方法来判断直线与椭圆的位置关系.具体的步骤为：(1)联立成方程组；(2)消元，转化为一元二次方程；(3)计算Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，直线与椭圆相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与

3、椭圆相切，有且只有一个交点；当Δ＜0时，直线与椭圆相离，没有交点.知识点三　直线与双曲线的位置关系已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0).(1)当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m.将双曲线方程与直线方程联立成方程组，消去y，整理得(b2－a2k2)x2－2mka2x－a2(m2＋b2)＝0.(*)非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。当b2－a2k2＝0，即

4、k

5、＝时，若m＝0，则直线与双曲线的渐近线重合，直线与双曲线无交点，若m≠0，

6、则直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点.当b2－a2k2≠0，即

7、k

8、≠时，①当

9、k

10、＞时，若方程(*)的判别式Δ＞0，则直线与双曲线的一支有两个不同的交点，相交，若Δ＝0，则直线与双曲线有且只有一个公共点，相切，若Δ＜0，则直线与双曲线没有交点，相离.②当

11、k

12、＜时，直线与双曲线的两支各交于一点.(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为x＝n.当

13、n

14、＞a时，直线与双曲线的一支交于两点；当

15、n

16、＝a时，直线与双曲线的一支切于顶点；当

17、n

18、＜a时，直线与双曲线无交点.知识点四　直线与抛物线的位置关系(1)当直线的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b，抛

19、物线C：y2＝2px(p＞0).由得ky2－2py＋2pb＝0.当k＝0时，直线与x轴平行，与抛物线C只有一个交点(相交).当k≠0时；①若Δ＝0，则直线与抛物线只有一个公共点，相切；②若Δ＞0，则直线与抛物线有两个交点，相交；③若Δ＜0，则直线与抛物线没有交点，相离.(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为x＝n，抛物线方程为y2＝2px(p＞0).当n＝0时，直线与抛物线相切于原点；当n＜0时，直线与抛物线相离；当n＞0时，直线与抛物线相交于两点.类型一　由直线与圆锥曲线的位置关系确定参数的值例1　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时

20、，求实数m的取值范围.反思与感悟　求解直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用代数法，即将直线和圆锥曲线的方程联立，消去一个未知数，得到关于x(或y)的一元二次方程，讨论其根的个数，从而知其交点的个数.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。跟踪训练1　已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点？(2)l与C有唯一公共点？(3)l与C有两个不同的公共点？类型二　直线与圆锥曲线的弦长问题例2　过双曲线x2－＝

21、1的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求

22、AB

23、.反思与感悟　求解直线与圆锥曲线的弦长问题常用以下两种方法：(1)求出交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式；(2)利用弦长公式

24、AB

25、＝·.跟踪训练2　已知一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线2x－y－4＝0所截的弦长为3，求抛物线的方程.类型三　中点弦问题例3　椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2＝＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点坐标为(，0)，斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，线段AB的中点H的坐标为(2，－1).(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上一点，点M，N在椭圆C1上，