高考数学二轮专题复习 知能专练（十五）空间角与空间向量

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1、知能专练（十五）空间角与空间向量一、选择题1．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，则

2、

3、为(　　)A.aB.aC.aD.a解析：选A　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)．∵点M在上且＝.∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝a，y＝，z＝，于是M.∴

4、

5、＝＝a.2．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　

6、　)A.B.C.D.解析：选A　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCDA2B2C2D2，则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2，平面AB2D2∩平面AA1B1B＝AB2，即直线n就是直线AB2，由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2，故m，n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角，在等边三角形AB2D2中，∠AB2D2＝60°，故其正弦值为.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。3.

7、在四面体ABCD中，二面角ABCD为60°，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成的角为θ，则(　　)A．θ的最大值为60°B．θ的最小值为60°C．θ的最大值为30°D．θ的最小值为30°解析：选A　过A作AH⊥平面BCD于点H，AG⊥BC于点G，连接PH，GH，则易知∠AGH为二面角ABCD的平面角，即∠AGH＝60°，∠APH为PA与平面BCD所成角，则tan∠APH＝.因为AH为定长，所以当PH取得最小值时，∠APH取得最大值，易知当点P与点G重合时，PH取得最小值，所以θmax＝∠AGH＝60°，故选A.4．(2017·哈师大

8、附中模拟)三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为的正三角形，AA1⊥平面ABC，且AA1＝1，则异面直线A1B与B1C所成角的大小为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选D　如图，把两个相同的三棱柱组合在一起，由于A1B∥A2B1，那么A2B1与B1C所成的角即为A1B与B1C所成的角，由题可得A2B1＝B1C＝，A2C＝，则有A2B＋B1C2＝A2C2，所以∠A2B1C＝90°，故所求的异面直线A1B与B1C所成的角为90°，故选D.5．已知锐二面角αlβ中，异面直线a，b满足：a⊂α，a⊥l，b⊂β，b与l不垂直，设二面角α

9、lβ的大小为θ1，a与β所成的角为θ2，异面直线a，b所成的角为θ3，则(　　)A．θ1>θ2>θ3B．θ3>θ2>θ1C．θ1＝θ2>θ3D．θ3>θ2＝θ1解析：选D　在锐二面角αlβ中，a⊂α，a⊥l，所以二面角αlβ的平面角即a与β所成的角，则θ1＝θ2，因为b⊂β，b与l不垂直，根据斜线与平面所成的角是斜线与平面内的任意直线所成角的最小角，则θ3>θ2＝θ1，故选D.6．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是A1C1上任意一点，记平面PAB，平面PBC与下底面所成的二面角分别为α，β，则tan(α＋β)的最小值为(　　)A．－

10、B．－C．－D．－解析：选C　如图，作PP1⊥AC，交AC于P1，易知，PP1⊥底面ABCD非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。，作PM⊥AB，PN⊥BC，连接MP1，NP1，易证得∠PMP1＝α，∠PNP1＝β.设MP1＝x，则NP1＝1－x，所以tanα＝，tanβ＝.∴tan(α＋β)＝＝＝＝.∵0≤x≤1，∴tan(α＋β)≥－，当且仅当x＝时取到等号，故选C.二、填空题7．(2017·嘉兴模拟)已知正四面体ABCD中，E

11、，F分别为AB，CD的中点，则异面直线EF与AD所成角的大小为________．解析：取AC中点G，连接FG，易知∠EFG即为已知两异面直线所成的角，设棱长为a，则有GE＝GF＝，EF＝a，即△GEF为等腰直角三角形，故∠EFG＝.答案：8.如图所示的三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，PC＝，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，则二面角PABC的大小为________．解析：由已知条件，D是BC的中点，∴CD＝BD＝2，又△ADC是正三角形，∴AD＝CD＝BD＝2，∴D是△ABC的外心且又在BC上，∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形

12、，即AB⊥AC，又PC⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∴∠PAC即为二面角PABC的平面角，在直角三角形PAC中易求得，tan