数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结

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1、数列的通项公式1.通项公式如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。2.数列的递推公式（1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可3.数列的前n项和与数列通项公式的关系数列的前n项之和，叫做数列的前n项和，用表示，即与通项的关系是4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项2）前n项和与的关系法，求解.(注意：求完后一定要考虑合并

2、通项)3）、累（叠）加法：形如∴4）.累（叠）乘法：形如∴5）.待定系数法：形如a=pa+q（p≠1，pq≠0），（设a+k=p（a+k）构造新的等比数列）6)倒数法：形如（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）7).对数变换法：形如，（然后用待定系数法或是等差数列）8).除幂构造法:形如(然后用待定系数法或是等差数列)9).归纳—猜想—证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推

3、式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.18通项公式方法及典型例题1.前n项和与的关系法例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）(1)Sn＝2n2－3n；（2）解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.（1），当时===3经验证也满足上式∴=3（2），当时，由于不适合于此等式。∴(点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)2.累加法:

4、型2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；解:由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子，累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝，即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．3.累乘法型，3.已知数列中满足a1=1，，求的通项公式.解：∵∴.∴a1=*1=∴4.待定系数法:a=pa+q（p≠1，pq≠0）型，通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式

5、求解。解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得18pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。4.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1.由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．5.倒数变换法、形如的分式关系的递推公式，分子只有一项（两边取倒，再分离常数化成求解）然后用待定系数法或是等差数列例5.已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得是以首项为，公差为的等差数列考点

6、六、构造法.形如然后用待定系数法或是等差数列6、已知数列满足求an．解：将两边同除，得，变形为．设，则．所以，数列为首项，为公差的等比数列．．因，所以=得=．18求数列的通项公式一、数列通项公式的求法1、观察法观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式例、由数列的前几项写通项公式（1）1，3，5，7，9…（2）9，99，999，9999，（3）2、定义法：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数列类型

7、的题目．例（1）已知是一个等差数列，且。求的通项.；（2）已知数列{}为等比数列，求数列{}的通项公式；（3）已知等比数列，若，求数列的通项公式。（4）数列中，，求的通项公式（5）已知数列满足，，求的通项公式（6）已知数列中,,且当时,则;.183、公式法：已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：注意：要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。例（1）已知数列的前n项和，求的通项公式。（2）已知数列中,,则.（3）已知数列前n项和，求的通项公式4累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求

8、前项和）.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式