平面向量全部讲义

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1、第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)A．有不相等的模　　　B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若

2、a

3、＝

4、b

5、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝等价于四边形A

6、BCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于

7、a

8、＝

9、b

10、且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是(　　)A．②③　　　　　　　B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

11、λa

12、＝

13、λ

14、

15、a

16、；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反

17、；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb　例3：化简－＋－得(　　)A.B.C.D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)A．0　　　B．C．D．(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若

18、＋

19、＝

20、－

21、，则非零向量，的关系是(　　)A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则

22、－＋

23、＝_

24、_______4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)A．－＋B．－－C．－D．＋5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.DD巩固练习1。16a＋6b2。C3。24。A5。C6．解：＝＋＝－3a＋2b，∵D，E为的两个三等分点，∴＝＝－a＋b＝.∴＝＋＝3a－a＋b＝2a＋b.∴＝＋＝2a＋b－a＋b＝a＋b.3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.例5．已知a与

25、b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________例6．　设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．6巩固练习：1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为(　　)A．1　　　B．2C．3D．42.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(　　)A．a＋b　　B.a＋bC.a＋bD.a

26、＋b3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)A．a　　　B．bC．cD．04如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为(　　)A．2B．3C．4D．55．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，

27、＋

28、＝

29、－

30、，则

31、

32、＝________.例5．－例6．　[解]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3

33、a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.CBDB－a＋b24．向量的中线公式:若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．5．三点共线等价关系A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(