函数方程思想在数列中应用

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1、函数方程思想在数列中应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓•"从基本量出发，知三求二•”这是方程思想的体现•而"将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效.本文列举几例分类剖析.一、方程思想1.知三求二等差（或等比）数列｛an｝的通项公式，前n项和公式集中了等差（或等比）数列的五个基本元素al、d（或q）、n、an、Sn.“知三求二”是等差（或等比）数列最基本的题型,通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a

2、l0=30,a20=50,（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若Sn=242,求n的值.解⑴由al0=al+9d=30,a20=al+19d=50,解得al=12,因为n^N*,所以n=ll.1.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得al和d(q),那么其它的量立即可得.例2在等比数列｛an｝中,已知a6—a4=24,a3a5=64,求｛an｝的前8项的和S8.解a6-a4=alq3(q2—1)=24.(1)由a3a5=(alq3)2=64,得alq3=±8.将alq3=-8代入(1),得q2=-2(舍去)；将alq3二8代入(1),得q二±2.当q二2时，al=l,S8

3、=255；当q二一2时，al=-l,S8=85.2.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列｛an｝、｛bn｝中，对任何正整数n都有：albl+a2b2+a3b3+-**+an—lbn—l+anbn=(n—1)•2n+l.若数列｛bn｝是首项为1、公比为2的等比数列，求数列｛an｝的通项公式.解将等式左边看成Sn,令Sn=albl+a2b2+a3b3+--・+an—lbn—1+anbn.依题意Sn二(n—1)•2n+l,(1)又构造Sn—I=albl+a2b2+a3b3+••

4、•+an—lbn—1=(n~2)•2n-l+l,(2)两式相减可得Sn—Sn—1二an•bn=n•2n—1(n22).又因为数列｛bn｝的通项公式为bn=2n—1,所以an=n(n22).当n=l,由题设式子可得al=l,符合an=n.从而对一切n^N*,都有an=n.所以数列｛an｝的通项公式是an=n.1.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设｛an｝是公比大于1的等比数列，Sn为数列｛an｝的前n项和.已知S3=7,且al+3,3a2,a3+4构成等差数列,求数列｛an｝的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于al,a2,a

5、3的方程组.由已知得al+a2+a3=7,(al+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列｛an｝的公比为q,由a2=2,可得al=2q,a3=2q.又S3=7,可知2q+2+2q=7,即2q2—5q+2-0,解得ql=2,q2=12.由题意得q>l,所以q=2.可得al=l,从而数列｛an｝的通项为an=2n—1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数•可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用•如等差数列｛an｝的通项公式an=al+(n—1)d=dn

6、+(al—d),前n项和的公式Sn=nal+n(n—1)2d=d2n2+(al—d2)n,当dHO时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列｛an｝的前n项的和为Sn,且S10=100,S100=10,求S110,并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差dHO,所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(

7、aHO),则aX102+bX10=100,aX1002+bX100=10・解得a—11100,b=11110.所以Sn=-11100n2+11110n・从而SI10=-11100X1102+11110X110=-110.函数Sn=-11100n2+11110n的对称轴为n=l11102X11100=55211=50211.因为nUN*,所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列｛an｝中an=ln(1+n)n