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《2015年全国高中数学联赛福建预赛试题word版含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2015年福建省高中数学竞赛S2015年全高中数学联赛(福建省赛区〉预赛试卷参考答案一、填空题(共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上〉1.设集合A=jx
2、^-^<0,xgZj,从集合A中随机抽取一个元素兀，记§=则随机变量§的数学期望Eg二o【答案】5【解答】A={-4,-3,-2,-1,0,1,2},随机变量g的取值为0,1,4,9,16o易得，§的概率分布列为014916P1221177777I?2I]・・・£^=0x-+lx-+4x-+9x-+16x-=5o777772.已知/(兀)=兀+g(x),其中g(x)是定义在R上,最
3、小正周期为2的函数。若f(x)在区间因上的最大值为1,则/(%)在区间上的最大值为o【答案】9【解答】依题意，有。J在区间上的最大值为1,・・・在区间上的最大值为3,在区间上的最大值为5,在区间[8,10)±的最大值为7,在区间[10,12)上的最大值为9。3・片、毘为椭圆C：22:+打=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存ertr在一点P,使得P斥丄PF?,则椭圆离心率幺的取值范围为o【答案】［―,1'L2丿【解答】设A为椭圆C的上顶点，依题意有ZF}AF2>90°o・・・ZF,AO>45°,->loc2>a2-c—4、x,y,z满足x2+2/+3z2=24,则x+2y+3z的最小值为o［答案】一12【解答】由柯西不等式，知(x+2y+3z)2=(l-x+V2->/2y+V3-V3z)2-12,当.冃/乂当即兀=y二z=-2时等号成立。1V2V3・・・x+2y+3z的最小值为一12。5・已知函数f(x)=x2cos—,数列｛an｝中,an=/(n)+/(n+l)(neNv2则数列｛d”｝的前100项之和SI(X)=o【答案】10200【解答】依题意，有1007]00==-22+42-62+82
5、-L-982+1002=4(3+7+L+99)"=
6、3+99=4x^—x25=5100o2・・・51(x)=27；00-/(l)+/(101)=2x5100-0+0=10200o6・如图，在四面体ABCD中，DA=DB=DC=2,DA丄DB,D4丄DC,且D4与平面4BC所成角的余弦值为色。则该四面体外接球半径3aD-——。A【答案】73/DA®，E为眈中点,结合cosSE冲知，・•・BC=2BE=2伍,DB丄DCo【解答】如图，作DO丄面ABC于O,连结AO,并延长交BC于点E,连结DE。则ZDAE是D4与平面ABC所成的角，cosZDAE=—o3・.・DA
7、=DB=DC=2,DA丄DB,DA丄DC,・•・DA丄面DBC,O为△ABC的外心，且AB=AC=2血。AE=胚,BE=yjAB2-AE2=^8^6=V2oDA.DE、DC两两互相垂直，四面体外接球半径R=品。7.在复平面内，复数可、Z2、Z3的对应点分别为ZnZ2>Z3o若
8、可UUUUUULozcoz2=o.Z]+Z2_Z3=b贝0
9、z3
10、的取值范围是Z2【答案】[1,3]【解答】设Z]=X]+yJ,z2=x2+y2i(i为虚数单位)，LUUUUUU1•/Z,=z2=j2,OZ
11、•OZ2=0,/•彳+yj=兀；+y；=2,x{x2+y2=0,Z
12、+Z2
13、=
14、7(Xl+>?l)2+(X2+)72)2=J彳++X；+y；+2(兀]兀2+)1『2)=2。设复数Z,+Z2对应的点为P。由冷+Z2-Z3〔=1知，点Z3在以P为圆心，1为半径的圆上。又
15、OP
16、=2,因此，2-1<
17、OZ.
18、<2+1,BP
19、z3I的取值范围是[1,3]o8.已知函数f(x)=ex(x-aex)恰有两个极值点旺，x2(20、)=1-2aex,g(x)=0有两个不同的实根。若qSO,则gx)>1,g(x)为增函数，g(x)=0至多1个实根,不符合要求。若g〉0,贝ij当兀vln丄H寸，gx)>0；x>In—H寸，g'(x)vO。2a2ciT，+T上为减函数。ig(兀)在区间—Un—上为增函数,2cigO)的最大值为g(ln—)=ln—+1-1=ln—。2a2a2a乂XT-g时，g(x)二兀+1—2°"T—8；X—>+ooH寸，g(x)=x+l-2d?'T-oo。・•・当口仅当5(ln—)=ln—>0,即Ovqv丄时，g(x)=0恰有2个不同的实2a2a2根。设g(x)=0的两根
21、为召，兀2(兀IVx2)。则XV兀1时
