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1、专题七儿何综合应用类型1以三角形为背景的计算和证明问题1.如图，一条4加宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图屮数据，可知这条道路的占地面积为_80_nr.【解析】如图，作DE丄AC于点E,DEAE43可证△DAE^AACBA卩：盘=巨解得：AB=16(m),J.道路的面积为ADXAB=5X16=80伽d2.在Z?rAABC中，ZA=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰/^zAADE绕点A逆时针旋转，得到等腰心△AD
2、E］，设旋转角为a(0VaW180。)，记直线BD］与CE］的交点为P.C(1
3、)如图1,当a=90°时，线段BD】的长等于2运；(直接填写结果)(2)如图2,当a=135。时，求证：BD)=CE］,且BD】丄CE);(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)解：(2)证明：当a=135°时，由旋转可知ZDiAB=ZE1AC=135°.又・.・AB=AC,AD】=AEi,•••△DiAB竺△EiAC,・・BDi=CEi且ZD
4、BA=ZEQA.设直线BD)与AC交于点F,有ZBFA=ZCFP,・・・ZCPF=ZFAB=90°.Z.BD］丄CE】.(3)1+V3(四边形ADjPEi为正方形时，距离最大，此时
5、PDi=2,PB=2+2羽).3・（2017-兰溪模拟）如图，已知△ABC中AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的屮点.（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，ABPD与ACQP是否全等，请说明理由；②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使ABPD与ACQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿AABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在AABC的
6、哪条边上相遇？解：⑴①Tt=l（秒），・・・BP=CQ=3（厘米）VAB=12,D为AB中点,・・・BD=6（厘米）又•・•PC=BC—BP=9—3=6（厘米）BP=CQ・・・PC=BDTAB=AC,/.ZB=ZC,在ABPD与厶CQP中，IZB=ZC,BD=PC•••△BPD竺△CQP（SAS）,②TVpHVq,・・・BPHCQ,又VZB=ZC,要使△BPD^ACPQ,BP45只能BP=CP=4.5,VABPD^ACPQ,.,.CQ=BD=6.A点P的运动吋间t=—1.5（秒），此时Vq=^=書=4（厘米/秒）；（2）因为VQ>VP,只能
7、是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2X12,解得x=24（秒），此时P运动了24X3=72（厘米）又VAABC的周长为33厘米，72=33X2+6,・•・点P、Q在BC边上相遇，即经过24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇.类型2以四边形为背景的计算和证明问题4.（2017-温州模拟）己知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45。角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a,CF=b.（2）当AAEF是直角三角形时，求a,b的值；
8、（3）如图3,探索ZEAF绕点A旋转的过程中a,b满足的关系式，并说明理由.解：（1）可证△ACF9AACE,・・・CE=CF,VCE=a,CF=b…・.a=b,VAACF^AACE,AZAEF=ZAFE,VZEAF=45°,AZAEF=ZAFE=67.5°,VCE=CF,ZECF=90°,ZAEC=ZAFC=22.5°,TZCAF=ZCAE=22.5。，二ZCAE=ZCEA,・・.CE=AC=4迈，即：a=b=4迈；(2)当ZAEF是直角三角形时，①当ZAEF=90。时，VZEAF=45°,AZAFE=45°,•••△AEF是等腰直角三
9、角形，AAF当t=2s吋，求tanZQPA的值；当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM吋，求心)的值；连接CQ,当点P,Q在运动过程iSACQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.=2FE2=2(CE2+CF2),AF2=2(AD2+BE2),.2(CE2+CF2)=2(AD2+BE2),.,.CE2+CF2=AD2+BE2,aCE2+CF2=16+(4+CE)2,・e.CF2=8(CE+4)①TZAEB+ZBEF=90°,ZAEB+ZBAE=90°,・ZBEF=ZBAE,4CE+4_AAABE^AECF,・
10、••在=~，.*.4CF=CE(CE+4)②，联立①②得，CE=4,CF=8Aa=4,b=8,②当ZAFE=90°时,同①的方法得，CF=4,CE=8,Aa=8,b=4.(3)a
