高二数学选修2—2--第二章--推理与证明(理)人教实验版(b)知识精讲

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1、高二数学选修2—2第二章推理与证明（理）人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：选修2—2第二章推理与证明二.教学目的：1、了解合情推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用归纳推理、类比推理和演绎推理等进行简单的推理，体会并认识它们在数学发现中的作用和重要性.2、掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点.3、掌握间接证明的一种基本方法一反证法；了解反证法的思考过程、特点.4、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.三.教学重点、难点：重点：合情推理、演绎

2、推理以及证明方法一一直接证明和间接证明；难点：对数学归纳法的理解四.知识分析：【本章知识结构】【重点知识回顾】1、合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.说明：归纳推理和类比推理是数学屮常用的合情推理。（1）归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳是从特殊到一般的过程.说明：归纳推理的前提与结论只具有偶然性联系，其结论不一定正确.结论的正确性还需要理论证明或实践检验.其一般步骤为：1通过观察个别情况发现某些相同性质；2从已知的相

3、同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。（2）类比推理根据两类不同事物Z间具有某些类似（或一致）性，推测其屮一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。说明：在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之I'可越相关,那么类比得出的命题就越可靠.类比推理的一般步骤为：1找出两类事物Z间的相似性或一致性；2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。2、演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理.演绎推理的特

4、征是：当前提为真时，结论必然为真.例如，由真命题a,b,遵循演绎推理规则得出命题q,则q必然为真.3、合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.4、证明（1）直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性.常用的直接证明方法

5、有综合法与分析法.综合法是从己知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.分析法则是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件.最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件，综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种.（2）反证法（间接证明）一般地，由证明p=>q转向证明

6、：「q=>r=>・・・=>t,t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定「q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.5、数学归纳法（1）数学归纳法：设｛p“｝是一个与自然数相关的命题集合，如果①证明起始命题R（或p°）成立；②在假设吐成立的前提下，推出p曲也成立，那么可以断定，｛pn｝对一切正整数（或白然数）成立.（2）数学归纳法的框图表示若n=k｛k^n^）时命题成立，证明n=k+l时命题也成立.命题成立归纳奠基_________________归纳递雄命题对从珈开始所有的正整数并都成立.（3）数学归纳法是推理逻辑，它的

7、第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤称数学归纳法.这两步各司其职但缺一不可.特别指出的是，第二步不是判断命题的真假，而是证明命题是否具备递推性•如果没有笫一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题.【专题分析】一、推理推理是由一个或几个已知判断作11!一个新的判断的思维形式.由于数学中通常把判断称为命题，因而数学推理是由已知命题推出

8、新的命题的思维形式.推理一般分为合情推理和演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理，演绎推理包括：假言推理、三段论推理、关系推理以及完全归纳推理.1、归纳推理2例1.在数列｛an｝中，a1=1,a”】=—,nwN+，猜想这个数列的通项公式。a】=l,a2=^^=-,2a2122a3解:{an}中,1x—--------------