高考专题椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题-精品之高中数学（文）---精校解析Word版

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1、第76题椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题I．题源探究·黄金母题【例1】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．【解析】设圆，即，圆心，半径；设圆，即，圆心，半径，设动圆圆心为，半径为，由于动圆与圆外切，则，由于动圆与圆内切，则，所以，而，因此点的轨迹是以为焦点的椭圆．设椭圆方程为：，，动圆圆心的轨迹方程为，它表示一个焦点在轴上的椭圆．精彩解读【试题来源】人教版选修1-1第50页习题2．2B组第2题【母题评析】本题属于求轨迹问题，采用定义法求轨迹方程．求轨迹问题在近几年

2、高考试题中很常见，采用命题的形式往往是解答题的其中一步．【思路方法】利用两圆外切、内切的条件要求列出式子，经过推到转化为动点需要满足的条件要求，符合定义，最后求出轨迹方程，这是定义法求轨迹．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017新课标III】已知双曲线：的一条渐近线方程为【命题意图】本类题通常主要轨迹方程及求轨迹，考查学生对求轨迹的基本方法的掌握情况及对圆锥曲线的概念的掌握情况．【考试方向】，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线：的渐近线方程为，椭圆中：，椭圆，

3、即双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组，解得，则双曲线的方程为，故选B．【例2】【2017高考新课标II】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线为：，圆心到渐近线距离为：，不妨考查点到直线这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，选填题较少，难度持中，一般会出现在解答题中的一步．【难点中心】1．双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过

4、程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可．2．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部．的距离：，即：，整理可得，双曲线的离心率．故选A．【例3】【2017新课标

5、I】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．【答案】【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，，点到直线的距离．在中，，代入计算得，即，由得，．【例4】【2017高考新课标III】已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M

6、过点，求直线l与圆M的方程．【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为，或直线的方程为，圆的方程为．【解析】试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为可得，即得结论；(2)结合(1)的结论求得实数的值，分类讨论即可求得直线的方程和圆的方程．试题解析：(1)设，．由可得，则．又，故．因此的斜率与的斜率之积为，所以．故坐标原点在圆上．(2)由(1)可得．故圆心的坐标为，圆的半径．由于圆过点，因此，故，即．由(1)可得．所以，解得或．当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，

7、圆的方程为．当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．【例5】【2017高考山东卷】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．【答案】（I）．（Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为．【解析】试题分析：（I）本小题由，确定即得．（Ⅱ）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定

8、及圆的半径表达式．进一步求得直线的方程并与椭圆方程联立，确定得到的表达式，研究其取值范围．这个过程中，可考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式．试题解析：（I）由题意知，，所以，因此椭圆的方程为．（Ⅱ）设，联立方程得，由题意知，且，所以．由题意可知圆的半径为由题设知，所以因此直线的方程为．联立方程得，因此．由题意可知，而，令，则，因此，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以最大值为．综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的