利用导数证明不等式-高中数学（理）黄金100题---精校解析 Word版

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1、第27题利用导数证明不等式I．题源探究·黄金母题【例1】利用函数的单调性，证明下列不等式：（1），；（2），；（3），；（4），．【解析】（1）证明：设，．因为，，所以在内单调递减，因此，，即，．（2）证明：设，．因为，所以当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；又．因此，，．（3）证明：设，．因为，，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P31习题1．3B组第1题【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单

2、调性去证明不等式．【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法——构造函数法，要注意所构造函数的定义域．；综上，，．（4）证明：设，．因为，，所以当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；当时，显然．因此，．由（3）可知，，．综上，，．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017全国III】已知函数．（I）讨论的单调性；（II）当时，证明．【答案】（I）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（II）详见解析【解析】试题分析：（I）先求函数

3、导数，再根据导函数符号变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增，当时，则在单调递增，在单调递减．（II）证明，即证，而，所以目标函数为，即【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求单调性，利用导数证不等式．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大．作为压轴题，基本上含有参数．含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类

4、讨论的思想．含有参数的函数导数（），利用导数易得，即得证．试题解析：（I），当时，，则在单调递增，当时，则在单调递增，在单调递减．（II）由（I）知，当时，，，令（），则，解得，∴在单调递增，在单调递减，∴，∴，即，∴．【例2】【2017全国II理】已知函数，且．（I）求；（II）证明：存在唯一的极大值点，且．【答案】（I）；（II）证明略．【解析】试题分析：（I）利用题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（II）结合（I）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等

5、式．试题解析：（I）的定义域为．设，则，等价于．因为，因，而，得．若，则．当时，，试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．【难点中心】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．单调递减；当时，，单调递增．所以是的极小值点，故．综上，．（II）由（I）知，．设，则．

6、当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，．因为，所以是的唯一极大值点．由得，故．由得．因为是在（0，1）的最大值点，由，得，所以．【例3】【2017天津理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足．【答案】（I）增区间是，，减区间是；（II）（III）证明见解析．【解析】试题分析：由于为，所以判断的单调性，需要

7、对二次求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间；由，得，令函数，分别求导证明．有关零点问题，利用函数的单调性了解函数的图像情况，对极值作出相应的要求可控制零点的个数．试题解析：（Ⅰ）由，可得，进而可得．令，解得，或．当x变化时，的变化情况如下表：x+-+↗↘↗所以的单调递增区间是和，单调递减区间是．（Ⅱ）证明：由，得，．令函数，则．由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增．因此，当时，，可得．令函数，则．由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减．因此

8、，当时，，可得．所以，．（III）证明：对于任意的正整数，，且，令，函数．由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点．所以在内至少有一个零点，不妨设为，则．由（I）知在上单调递增，故，于是．因为当时，，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故．又因为，，均为整数，所以是正整数，从而．所以．所以，只要取，就有．III．理论基础·解题原理考点利用导数解决不等式恒成立问题、证明不等式导数研究不等式，涉及不等式的证明、不等式的恒成立等问题，主要考查