441乘法公式(基础)知识讲解

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1、4・41乘法公式(基础)【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：(a^-h)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相

2、反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：(1)位置变化：如(d+b)(-b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型(2)系数变化：女口(3兀+5y)(3兀一5y)(3)指数变化：女n(m3+zi2)(m3-zi2)(4)符号变化：如(—ci—b)(^ci—h)(5)增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)(6)增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+M)要点二、完全平方公式完全平方公式：(。+耐2=/+2%+戸(仇-b)2=u~—2c(b+b~两数和(差)的平方等于这两数

3、的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形：a1+b~=(6/+/?)2-2ab=(a_+2ab(d+b)~=(d-b)“+4ab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式(兀+p)Cr+g)+(p+g)%+pq；(

4、a±b)(a2^ab-vb1}=a(―3x—2j;)(2v—3x)•【答案】<3Vr29解：(1)原式=_-—y=-y'(2丿(2［丿44-(2)原式=(―2)2—X2=4—x2.(3)原式=一(3兀+2y)(2y-3兀)=(3x+2y)(3x-2y)=9x2-4y2.±Z?3；(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3:(a+b+c)2=a?+b?+c?+2cib+2ac+2bc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用C1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果.(1)(2a—

5、3b)(3b—2a)；(2)(―2d+3b)(2d+3b):(3)(―2a—3Z?)(―2a+3b)；(4)(2q+3/?)(2q—3b)；(5)(-2a-3b)(2a-3b)；(6)(2a+3b)(—2a—3b).【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算.(2)(-2a+3b)(2a+3b)=(3/?)2—(2«)2=9b2-4a2.(3)(-2Q-3b)(-2a+3b)=(-2Q

6、)2~(3b)2=4cr-9h(4)(2a+3方)(2d_3b)=(2d)2—(3b『=^a2-9b2.(5)(—2a—3b)(2a—3b)=(—3b『一(2a)'=9h2-4/.【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）.举一反三:【变式】计算:(1)、3)V—--->T7（22)x3-+一(22(2)(—2+x)(—2—x)；▼2、计算：(1)59.9X60.1；(2)102X98.【答案与解析】解：(1)59.9X60.1=(60—0.1)X(60+0.1)=602-

7、O.12=3600-0.01=3599.99(1)102X98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数,通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式.这样可顺利地利用平方差公式来计算.举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)899X901+1；(2)99X101X10001；(2)20052-2006X2004；【答案】解：(1)原式=(900-1)(900+1)+1=9002-12

8、+1=810000.(2)原式二[(100—1)(100+1)]X10001=(1002-1)X10001=(10000-1)X(10000+1)=100000000-1=99999999.(3)原式=20052一(2005+1)(2005-1)=20052-(20052-12)=1.类型