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1、课时提升作业(二十三)垂直于弦的直径(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·潍坊中考)如图,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为( )A.4 B.8C.2D.4【解析】选D.连接OC,如图,设OC的长为r,∵AB=12,BP∶AP=1∶5,∴AP=10,∴OP=4.由垂径定理可得△OPC是直角三角形,并且CD=2CP.在Rt△OCP中,由勾股定理CP===2,∴CD=2CP=4.2.(2013·德
2、阳中考)如图,☉O的直径CD过弦EF的中点G,∠DCF=20°,则∠EOD等于( )A.10° B.20°C.40°D.80°【解析】选C.连接OF,∵直径CD过弦EF的中点G,∴=,∠EOD=∠FOD,∵∠FOD=2∠DCF=40°,∴∠EOD=40°.3.(2013·泸州中考)已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( )A.2cmB.4cmC.2cm或4cmD.2cm或4cm【解析】选C.①如图1所示,分别连接AC和A
3、O,∵AB⊥CD,∴AM=AB=4cm,在Rt△AOM中,OM===3(cm),CM=OC+OM=5+3=8(cm),在Rt△AMC中,AC===4(cm),②如图2所示,由①可知OM=3cm,CM=OC-OM=5-3=2(cm),在Rt△AMC中,AC===2(cm).由①②得,AC的长为2cm或4cm.【易错提醒】利用垂径定理和勾股定理求弦长时,要注意弦在圆上的位置,要多画图尝试,不要漏掉一种情况.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·宁夏中考)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后
4、,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 cm.【解析】过圆心O作OD⊥AB于D,连接OA.根据题意,得OD=OA=1cm,在Rt△ADO中,由勾股定理,得AD=cm,根据垂径定理,得AB=2cm.答案:25.☉O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,则OP长的取值范围为 .【解析】如图,作OM⊥AB于M,连接OB,则BM=AB=×8=4.在Rt△OMB中,OM===3.当P与M重合时,OP为最短;当P与A(或B)重合时,OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.
5、答案:3≤OP≤56.(2013·吉林中考)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB于点C,连接OA,OB.点P是半径OB上任意一点,连接AP.若OA=5cm,OC=3cm,则AP的长度可能是 cm(写出一个符合条件的数值即可).【解题指南】1.确定一个圆中的有关线段长的范围时,求出该线段长的最小值和最大值即得范围.2.借助垂径定理及勾股定理,把动态问题转化为静态问题,能使问题简化.【解析】当点P与点O重合时,AP最短,长为5cm,当点P与点B重合时,AP最长,为弦AB的长,通过垂径定理可得C为A
6、B的中点,AC===4(cm),所以AB=8cm,故5≤AP≤8.答案:6(答案不唯一,5≤AP≤8均可)三、解答题(共26分)7.(8分)如图,AB是☉O的直径,作半径OA的垂直平分线,交☉O于C,D两点,垂足为H,连接BC,BD.(1)求证:BC=BD.(2)已知CD=6,求☉O的半径长.【解析】(1)∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,∴CH=DH,BC=BD.(2)连接OC,∵CD平分OA,设☉O的半径为r,则OH=r,∵CD=6,∴CH=CD=3.∵∠CHO=90°,∴OH2+CH2=CO
7、2,∴(r)2+32=r2,∴r=2.故☉O的半径长是2.【方法技巧】圆中经常用到作辅助线的方法1.连接圆心和弦的端点作出半径.2.过圆心作弦的垂线.通过辅助线将垂径定理和勾股定理有机结合,化圆中问题为三角形问题.8.(8分)如图,AB是☉O的直径,BC是弦,AC⊥BC,OD⊥BC于E,交☉O于D.(1)请写出三个不同类型的正确结论.(2)若BC=8,ED=2,求☉O的半径.【解析】(1)不同类型的正确结论有①BE=CE;②=;③∠BED=90°;④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD;⑥OE2+BE2=
8、OB2;⑦S△ABC=BC·OE.(答案不唯一)(2)∵OD⊥BC,∴BE=CE=BC=4.设☉O的半径为R,则OE=OD-DE=R-2,在Rt△OEB中,由勾股定理得OE2+BE2=OB2,即(R-2)2+42=R2,解得R=5,∴☉O的半径为5.【培优训练】9.(10分)如图,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2m,桥的最高处点C离水面的高度是2.4m.现在有一艘宽3m,船舱顶部为方形并高出水面2m的货船要经过这里,问:这艘船能否通过这座拱桥?说明理由.【
