2015-2016学年浙江省杭州市第二中学高二上学期期中考试数学

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1、2015-2016学年浙江省杭州市第二中学高二上学期期中考试数学一、选择题（共8小题；共40分）1.不等式−x2+2x+3>0的解集是  A.−3,1B.−1,3C.−∞,−1∪3,+∞D.−∞,−3∪1,+∞2.己知a，b>0，且a+3b=1，则ab的取值范围是  A.36,+∞B.0,112C.124,112D.0,363.设m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是  A.若m∥α，α∥β，则m∥βB.若α⊥β，m⊥α，则m⊥βC.若m∥α，α⊥β，则m⊥βD.若m⊥α，α∥β，则m⊥β4.在等差数列

2、an中，己知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15，则Sn的最大值是  A.110B.120C.130D.1405.若关于x的不等式x2+ax−2>0在区间1,5上有解，则实数a的取值范围为  A.−235,+∞B.−235,1C.1,+∞D.−∞,−16.己知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P∈直线CE，则∣BP∣+∣DP∣的最小值为  A.1+63B.1+64C.1+32D.1+327.若x+2y≤ax+y对x，y∈R+恒成立，则实数a的最小值是  A.2B.3C.5D.28.设三个底面半径都为

3、1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于  A.2−1B.3−2C.5−2D.1二、填空题（共7小题；共35分）9.己知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积S=  ．10.如图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是  ．11.在等比数列{a_n}中，各项均为正值，且a2a14+a2a6=48，a3a9=6，则a4+a8=  ．第6页（共6页）12.设函数fx=log121−x1+x，则不等式flog12

4、x>−f12的解集是  ．13.空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为30∘，E、F分别为BC、AD的中点，则与AB所成角的大小为  ．14.对一切实数x，二次函数fx=ax2+bx+c的值均为非负实数，则a+bc的最小值是  ．15.己知三棱锥A−BCD，DA，DB，DC两两垂直，且∠DAB+∠BAC+∠CAD=90∘，则二面角A−BC−D的余弦值的最大值为  ．三、解答题（共4小题；共52分）16.如图：己知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC=60∘，AA1⊥平面

5、AC．（1）设棱形ABCD的对角线的交点为O，求证：A1O∥平面B1D1C．（2）若四棱柱的体积V=32F，求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值．17.（1）求关于x的不等式ax2−x−a+1>0a∈R的解集．（2）求证：ac+bd2

6、1n∈N*.（1）求证：an+1>an．第6页（共6页）（2）设m=1a1+1a2+⋯+1a2015，求不超过m的最大整数．第6页（共6页）答案第一部分1.B2.B3.D4.C5.A6.B7.B8.A第二部分9.2π10.3π11.21512.12,213.π12或5π1214.−115.13第三部分16.（1）证明：连接A1C1，B1D1交于点G，连接GC，因为A1G∥CO，A1G=CO，于是四边形A1GCO是平行四边形，故A1O∥OG，又OG⊂平面B1D1C，故A1O∥平面B1D1C      （2）设AA1=h，因

7、为S底=AB⋅BC⋅sin∠ABC=32所以V=Sh=32，所以h=1.因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，所以B1D1⊥平面A1C所以平面B1D1C⊥平面A1C1，过C1H⊥GC，于是C1H⊥平面B1D1C，第6页（共6页）所以∠C1CG为所求角，且sin∠C1CG=C1GGC=55．17.（1）若a<0，解集为1a−1,1；若a=0，解集为−∞,1；若012，解集为−∞,1a−a∪1,+∞．      （2）【证明】ac+b

8、d2−a2+b2c2+d2=2acbd−a2d2−b2c2=−ad−bc2≤0故ac+bd2≤a2+b2c2+d2．18.（1）证明：过E1作E1H，连接AH，于是AH⊥FC又AH∩E1H=H，于是FC⊥平面AHE1，又E1A⊂平面AE1H，故FC⊥E1A．      （2）连接HB，计算可得：E1H=32，BH=C