2016年江苏省南通中学高三理科上学期数学期中考试试卷

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1、2016年江苏省南通中学高三理科上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1.已知集合A=2,3,4，B=a+2,a，若A∩B=B，则∁AB= ．2.“∃x∈R，x2−x+1≤0”的否定是 ．3.函数y=log0.2x的定义域为 ．4.若角α的终边经过点Pa,2aa<0，则cosα= ．5.设Sn是等比数列an的前n项的和，若a3+2a6=0，则S3S6的值是 ．6.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF= （用AB和AD表示）．7.已知命题p:∣x−a∣<4，命题q:x−12−x>0，若

2、p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ．8.已知直线x−y+1=0与曲线y=lnx−a相切，则a的值为 ．9.在△ABC中，已知BC=1，B=π3，△ABC的面积为3，则AC的长为 ．10.已知函数fx=−x2+2x,x>00,x=0x2+mx,x<0是奇函数，若函数fx在区间−1,a−2上单调递增，则实数a的取值范围是 ．11.函数y=2sin2x−π6与y轴最近的对称轴方程是 ．12.如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则AC⋅BC的值为 ．13.已知Sn为数列an的前n项和，a1=1，2Sn=n+1an，若关于正

3、整数n的不等式an2−tan≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为 ．14.已知函数fx=a−∣x+1∣,x≤1x−a2,x>1，函数gx=2−fx，若函数y=fx−gx恰有4个零点，则实数a的取值范围是 ．二、解答题（共10小题；共130分）第11页（共11页）15.已知向量a=sinω2x+φ,1，b=1,cosω2x+φ，（ω>0，0<φ<π4），记函数fx=a+b⋅a−b．若函数y=fx的周期为4，且经过点M1,12．（1）求ω的值；（2）当−1≤x≤1时，求函数fx的最值．16.设公差不为零的等差数列an的前5项的和

4、为55，且a2，a6+a7，a4−9成等比数列．（1）求数列an的通项公式．（2）设数列bn=1an−6an−4，求证：数列bn的前n项和Sn<12．17.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=bsinC+cosC．（1）求∠ABC；（2）若∠A=π2，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18.如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80 m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域C

5、OD组成，其面积为S cm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式Sx，并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．19.已知函数fx=ax+a−2x+2−2aa>0．（1）当a=1时，求函数fx在点2,f2处的切线方程；（2）求函数fx的单调区间；（3）若fx≥2lnx在1,+∞上恒成立，求a的取值范围．20.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+an=4，n∈N*．（1）求数列an的通项公式；（2）已知cn=2n+3n∈N*，记dn=cn+logCanC>0,C≠1，是否存在这样的常数C

6、，使得数列dn是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列bn，对于任意的正整数n，均有b1an+b2an−1+b3an−2+⋯+bna1=12n−n+22成立，求证：数列bn是等差数列．第11页（共11页）21.设矩阵A=1−23−7的逆矩阵为A−1，矩阵B满足AB=31，求A−1，B．22.设矩阵A=1221，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．23.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsinθ+π6=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．24.在平面直角坐标系xOy中，

7、已知曲线C:x=4cosθ,y=3sinθ（θ为参数，θ∈R），直线l:x=3+22t,y=−3+22t（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．第11页（共11页）答案第一部分1.3【解析】根据题意，若A∩B=B，则必有B⊆A，而集合A=2,3,4，B=a+2,a，分析可得a=2，即B=2,4，则∁AB=3．2.“∀x∈R，x2−x+1>0”【解析】将量词改为任意，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2−x+1≤0”的否定是：“∀x∈R，x2−x+1>0”．3.0,1【解析】由题意得：log0.2x≥0，解得：0

8、故函数的定义域是0,1．4.−55【解析】由于a<0，角α的终边经过点Pa,2a，则x=a，y=2a，r=∣OP∣=−5a，所以cosα=xr=−55．5.2【解析