2016年天津市南开中学高三理科上学期第四次月考数学试卷

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1、2016年天津市南开中学高三理科上学期第四次月考数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.i是虚数单位，复数2+i31−i=  A.3+i2B.1+3i2C.1+i2D.3+2i22.设变量x，y满足约束条件x+y−2≥0,x−y−2≤0,y≥1,则目标函数z=x+2y的最小值为  A.2B.3C.4D.53.下列说法错误的是  A.命题，“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”B.对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1<0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0C.若m,n

2、∈R，“lnm0,b>0的离心率e=52，点P是抛物线y2=4x上的一个动点，P到双曲线C的上焦点F10,c的距离与到直线x=−1的距离之和的最小值为6，则该双曲线的方程为  A.y22−x23=1B.y2−x24=1C.y24−x2=1D.y23

3、−x22=16.已知数列an的前n项和Sn=n2−n，正项等比数列bn中，b2=a3，bn+3bn−1=4bn2n≥2,n∈N+，则log2bn=  A.nB.2n−1C.n−2D.n−17.若至少存在一个x≥0，使得关于x的不等式x2≤4−∣2x+m∣成立，则实数m的取值范围是  A.−4,5B.−5,5C.4,5D.−5,48.已知fx为偶函数，当x≥0时，fx=m

4、x−2

5、+

6、x−4

7、，m>0，若函数y=ffx−4m恰有2个零点，则实数m的取值范围  A.0,16B.0,16∪56,52C.0,14∪54,52

8、D.0,14二、填空题（共6小题；共30分）9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．第11页（共11页）10.一个棱长为36的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为 ．11.直角坐标系xOy中，已知曲线C1:x=t+1,y=1−2t（t为参数）与曲线C2:x=asinθ,y=3cosθ（θ为参数，a>0）有一个公共点在x轴上，则a= ．12.若a=∫−π2π21π−sinxdx，则x−ax6的二项展开式中的常数项为 （用数字作答）．13.已知平面向量a，b，且∣b∣=2，a

9、⋅b=2，设c=tb+1−2ta，t∈R，则∣c∣的最小值是 ．14.函数fx=−x2+3x+a，gx=2x−x2，若fgx≥0对x∈0,1恒成立，则实数a的取值范围是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=a2cos2x2+sinx+b．（1）当a=1时，求fx的单调递增区间及对称轴方程；（2）当a>0时，且x∈0,π时，fx的值域是3,4，求a，b的值．16.为迎接2017年“鸡”年的到来，某电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有三个选项，问题B有四个选项，每题有且有一个选项是正

10、确的，正确回答问题A可获奖金1000元，正确回答问题B可获奖金2000元，活动规定：参加者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设某参与者在回答问题前，选择每道题的每个选项的机会是等可能的．（1）如果该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金1000元的概率；第11页（共11页）（2）若参与者先答B，再答A，设ξ为中奖奖金钱数，求出ξ的分布列和期望，并判断这种答题顺序是否合算并说明理由?17.已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形

11、，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（1）求证：EF⊥平面PAD；（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（3）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为π6，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点F21,0，点H2,2103在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）第一象限内一点M在圆C:x2+y2=b2上，过M作圆C的切线交椭圆于P，Q两点．问：△PF2Q的周长是否为定值，若是，求出定值，不是的

12、话说明理由．19.已知数列an的前9项和为153，且点Pan,an+1n∈N+在直线x−y+3=0上．（1）求数列an的通项公式；（2）从数列an中，依次取出第2项、第8项、第24项⋯第n⋅2n项，按原来的顺序组成一个新的数列bn，求数列bn的前n项和Sn．（3）求证：1b1+1b2+⋯+1bn<14．20.已知函数fx=x+mlnx−m+1+