北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题

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1、北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题一、选择题（共8小题；共40分）1.复数2i1−i的虚部是______A.−1B.1C.−iD.i2.“a=2”是“直线y=−ax+2与y=a4x−1垂直”的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在数列an中，a1=1，点an,an+1在直线y=2x上，则a4的值为______A.7B.8C.9D.164.在△ABC中，AP=13AB，BQ=13BC，记AB=a，AC=b，则PQ=  A.13a+13bB.23a+13bC.23a+23bD.13a−23b5.已知一个空间几何体的三

2、视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为______A.4B.8C.12D.246.函数fx=log2x+1−x2的零点个数为______A.0B.1C.2D.37.设不等式组x−2y+2≥0,x≤4,y≥−2表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线y+2=0的距离大于2的概率是______A.413B.513C.825D.9258.设定义域为R的函数fx满足以下条件：（i）对任意x∈R，fx+f−x=0；（ii）对任意x1,x2∈1,a，x2>x1时，fx2>fx1．则以下不等式一定成立的是______①fa>f0②f1+a2>fa③f1−3a1

3、+a>f−3④f1−3a1+a>f−aA.①③B.②④C.①④D.②③二、填空题（共6小题；共30分）9.在△ABC中，若b=3，c=1，cosA=13，则a=______．第6页（共6页）10.已知Sn是等差数列an的前n项和，其中a2=−3，a8=15，a5=______；S6=______．11.已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为______．12.以双曲线x29−y216=1的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是______．13.已知函数fx=12x,x≤0,1−3x,x>0,则ff−1=______；若f2a2−3>f5a，则实数a的取

4、值范围是______．14.过椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设MA，MB的斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，k1⋅k2=−13，则此椭圆的离心率为______．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=23sinx−2cosx⋅cosx+1．（1）求fx的最小正周期；（2）求fx在区间π4,π2上的最值．16.在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）求证：BD⊥AE；（3）若AB=2CE，在线段EO上是否存在点G

5、，使CG⊥平面BDE?若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．第6页（共6页）17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．甲组乙组6X87419003（1）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；（2）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率．（注：方差s2=1nx1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2，其中x为x1,x2,...,xn）18.已知函数fx=13x3−a2x+12aa∈R．（1）若a=1，求函数fx在0,2

6、上的最大值；（2）若对任意x∈0,+∞，有fx>0恒成立，求a的取值范围．19.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A2,1在椭圆M上．直线l的斜率为22，且与椭圆M交于B，C两点．（1）求椭圆M的方程；（2）求△ABC面积的最大值．20.已知每项均是正整数的数列a1,a2,a3,⋯,a100，其中等于i的项有ki个i=1,2,3⋯，设bj=k1+k2+⋯+kjj=1,2,3⋯，gm=b1+b2+⋯+bm−100mm=1,2,3⋯．（1）设数列k1=40，k2=30，k3=20，k4=10，k5=⋯=k100=0．①求g1，g2，

7、g3，g4；②求a1+a2+a3+⋯+a100的值；（2）若a1,a2,a3,⋯,a100中最大的项为50，比较gm，gm+1的大小．第6页（共6页）答案第一部分1.B2.A3.B4.A5.A6.C7.D8.B第二部分9.2210.6；911.9,−312.x−52+y2=1613.−5；−12,314.63第三部分15.（1）因为fx=23sinx−2cosx⋅cosx+1=3sin2x−cos2x=2sin2x−π6．所以fx的最小正周期T=2π2=π．      （2）由x