北京市东城区2011高三一模理科数学试题及答案（理科详解）（已导入）

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1、北京市东城区2011高三一模理科数学试题及答案（理科详解）（已导入）一、选择题（共8小题；共40分）1."x>2"是"x2>4"的 ()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知数列an为等差数列，且a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于 ()A.40B.42C.43D.453.已知函数fx对任意的x∈R有fx+f−x=0，且当x>0时，fx=lnx+1，则函数fx的大致图像为 ()A.B.C.D.4.已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足PA+PB+PC=0，且AB+AC=mAP，那

2、么实数m的值为 ()A.2B.3C.4D.55.若下面的程序框图输出的S是126，则条件①可为 ()A.n≤5B.n≤6C.n≤7D.n≤86.已知α∈π2,π，tanα+π4=17，那么sinα+cosα的值为 ()A.−15B.75C.−75D.34第12页（共12页）7.已知函数fx=12x−x13，那么在下列区间中含有函数fx零点的是 ()A.0,13B.13,12C.12,23D.23,18.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点

3、A∈α，点A到β、γ的距离都是3，点P是α上的动点，满足P到β的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值是 ()A.3−3B.3C.3+3D.6二、填空题（共6小题；共30分）9.如果m2+i1+mi是实数，那么实数m= ．10.已知曲线C的参数方程为x=2+cosθ,y=sinθ（θ为参数），则曲线上C的点到直线3x−4y+4=0的距离的最大值为 ．11.从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为 kg；若要从体重在60,70,70

4、,80,80,90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 ．12.如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线AC，圆心O到AC的距离为22，AB=3，则切线AD的长为 ．13.过抛物线y2=2pxp>0的焦点作倾斜角为60∘的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在x轴上方），则AFBF= ．第12页（共12页）14.已知数列an满足：a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，且当n≥5时，an+1=a1a2⋯an−1，若数列bn满足对

5、任意n∈N*，有bn=a1a2⋯an−a12−a22−⋯−an2，则b5= ；当n≥5时，bn= ．三、解答题（共6小题；共78分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且满足2c−ba=cosBcosA．（1）求角A的大小；（2）若a=25，求△ABC面积的最大值．16.已知四棱锥P−ABCD的底面是菱形．∠BCD=60∘，AB=PB=PD=2，PC=3，AC与BD交于O点，E，H分别为PA、OC的中点．（1）求证：PC∥平面 BDE；（2）求证：PH⊥平面 ABCD；（3）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．17

6、.（本小题共13分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响．（1）求至少有1人面试合格的概率；（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望．18.已知函数fx=xlnx，gx=xex−2e．（1）求函数fx在区间1,3上的最小值；（2）证明：对任意m,n∈0,+∞，都有fm≥gn成立．19.已知椭圆y2a2+x2b2=1a>b>0的离心率为22，且两个焦点和短轴

7、的一个端点是一个等腰直角三角形的顶点．斜率为kk≠0的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M0,m．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．第12页（共12页）20.对于n∈N*n≥2，定义一个如下数阵：Ann=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．设tj=aiji=1n=a1j+a2j+⋯+anj．（1）当n=6时，试

8、写出数阵A66并计算tjj=16；（2）若x表示不超过x的最大整数，求证：tjj=1n= nii=1n；（3）若fn=1ntjj=1n，gn=1x1ndx，求证：gn−1