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1、北京市东城区2014-2015学年度第一学期期末高三数学(文科)一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=x∈Z−1≤x≤2，集合B=0,2,4，则A∩B=______A.0,2B.0,2,4C.−1,0,2,4D.−1,0,1,2,42.下列函数中，既是奇函数，又在区间0,+∞上为增函数的是______A.y=lnxB.y=x3C.y=3xD.y=sinx3.设x∈R，则“x>1”是“x2>1”的______A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.当n=3时，执行如图所示的
2、程序框图，输出的S值为______A.6B.8C.14D.305.已知cosα=34，α∈−π2,0，则sin2α的值为______A.38B.−38C.378D.−3786.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a；④测量a，b，B，则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为______A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④第7页（共7页）7.已知向量a
3、=1,3，b=m,2m−3，平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb（λ,μ∈R），则实数m的取值范围是______A.−∞,0∪0,+∞B.−∞,3C.−∞,−3∪−3,+∞D.−3,38.已知两点M−1,0，N1,0，若直线y=kx−2上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是______A.−13,0∪0,13B.−33,0∪0,33C.−13,13D.−5,5二、填空题（共6小题；共30分）9.若抛物线的方程为y2=4x，则其焦点到准线的距离为______．10.若2+ii=1+mim
4、∈R，则m=______．11.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为______cm．12.若实数x，y满足x≥1,x+y≤4,x−2y−1≤0,则z=2x+y的最大值为______．13.已知函数fx=log2x,x>0,4x,x≤0,则ff12=______；若函数gx=fx−k存在两个零点，则实数k的取值范围是______．14.商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款要求如下：①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价给予9折
5、优惠；③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，若丙一次性购买A，B两件商品，则应付款______元．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=Asinωx−π6（A>0，ω>0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求fx的最小正周期及解析式；第7页（共7页）（2）设α∈0,π2，且fα2=1，求α的值．16.已知数列an是等差数列，数列bn是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=
6、b3=8．（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记cn=abn，求数列cn的前n项和Sn．17.在三棱锥P−ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90∘，M为AB的中点，E为PC的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（1）求证：AC⊥平面PBC；（2）求证：CM∥平面BEF；（3）若PB=BC=CA=2，求三棱锥E−ABC的体积．18.为普及宪法知识，某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50,60
7、，60,70，70,80，80,90，90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50,60，90,100的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取两名学生参加“全民宪法知识大赛”，求所抽取的两名学生中至少有一人得分在90,100内的概率．19.已知椭圆C1:x24+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有相同的离心率，且过椭圆C1的长轴端点．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设O为
8、坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，若OB=2OA，求直线AB的方程．20.已知函数fx=alnx−bx2，a,b∈R．第7页（共7页）（1）若fx在x=1处与直线y=−12相切，求a，b的值；（2）在（1）的条件下，求fx在1e,e上的最大值；（3）若不等式fx≥x对所有的b∈−∞
