北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题

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1、北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题一、选择题（共8小题；共40分）1.复数21−i化简的结果为______A.1+iB.−1+iC.1−iD.−1−i2.已知直线l:x=2+t,y=−2−t（t为参数）与圆C:x=2cosθ+1,y=2sinθ（θ为参数），则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是______A.π4，1,0B.π4，−1,0C.3π4，1,0D.3π4，−1,03.向量a=3,4，b=x,2，若a⋅b=∣a∣，则实数x的值为______A.−1B.−12C.−13D.

2、14.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P为24，则输出的n，S的值分别为______A.n=4，S=30B.n=5，S=30C.n=4，S=45D.n=5，S=455.如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A，B两点，弦CD垂直AB于E，则下面结论中，错误的结论是______A.△BEC∽△DEAB.∠ACE=∠ACPC.DE2=OE⋅EPD.PC2=PA⋅AB6.数列an满足a1=1，an+1=r⋅an+r（n∈N*，r∈R且r≠0），则“r=1”是“数列an成等差数列”的_____

3、_A.充分不必要条件B.必要不充分条件第9页（共9页）C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.用数字0，1，2，3，组成数字可以重复的四位数，其中有且仅有一个数字出现两次的个数为______A.144B.120C.108D.728.椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是______A.13,23B.12,1C.23,1D.13,12∪12,1二、填空题（共6小题；共30分）9

4、.以y=±x为渐近线且经过2,0点的双曲线方程为______．10.数列an满足a1=2，且对任意的m，n∈N*，都有am+nam=an，则a3=______；an的前n项和Sn=______．11.在1x+3x26的展开式中，常数项为______．（用数字作答）12.三棱锥D−ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD的长为______．13.点Px,y在不等式组x≥0x+y≤3y≥x+1表示的平面区域内，若点Px,y到直线y=kx−1的最大距离为22，则k=______．14.已知正方体

5、ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体ABCD−A1B1C1D1表面上运动，且PA=r（0

6、出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，数据统计如下表：A型车第9页（共9页）出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（1）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（2）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中

7、购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；（3）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．18.已知函数fx=eaxx−1．（1）当a=1时，求曲线fx在0,f0处的切线方程；（2）求函数fx的单调区间．19.已知E2,2是抛物线C:y2=2px上一点，经过点

8、2,0的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=−2于点M，N．（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知O为原点，求证：∠MON为定值．20.已知函数fx的定义域为0,+∞，若y=fxx在0,+∞上为增函数，则称fx为“一阶比增函数”；若y=fxx2在0,+∞上为增函数，则称fx为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2．（1）已知fx=x3−2hx2−hx，若