非线性最优控制粘性解的应用

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1、同济大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。签名：年月第一章引言第一章引言1．1最优控制粘性解理论介绍最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。这方面的开创性工作主要是由

2、贝尔曼(Bellman)提出的动态规划和庞特里雅金(Pontryagin)提出的最大值原理。这方面的先期工作应该追溯到维纳m．Wiener)等人奠基的控制理论。1948年维纳发表了一篇题为《控制论一关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学地提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森于1954年所著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。实际中，人们发现，最优控制问题就其本质来说是一个变分学的问题。然而经典变分学只能解决控制作用不受限制的情况。实际上常常碰到

3、控制作用受到限制的情况，这就要求人们丌辟求解最优控制的新途径。1953年至1957年间美国学者贝尔曼创立了动态规划理论，发展了变分学中的哈密顿一雅可比(Hamilton--Jacobi)理论。1956年至1958年间前苏联学者庞特罩雅金等创立了最大值原理。这两种方法成为了目前最优控制理论的两个柱石。动态规划、最大值原理和变分法是研究最优控制理论的基本方法。动态规划是贝尔曼于20世纪50年代中期为解决多阶段决策过程而提出来的。这个方法的关键是建立在他提出的“最优性原理”基础上的。这个原理归结为用一组基本的递推关系

4、式使过程连续地最优转移。这个多级决策过程的最优策略具有这种性质，不论初始状态和初始决策如何，其余的决策对于由初始决策所形成的状态来说，必定也是一个最优策略。但在求最优解时要按照倒过来的顺序进行，即从最终状态开始到初始状态为止。动态规划对于研究最优控制理论的重要性在于：(1)它可以得出离散时间系统的理论结果；(2)它可以得出离散时间系统最优解的迭代算法：(3)动态规划的连续形式可以给出它与古典变分法的联系，在一定条件下，也可以给出它与最大(小)值原理的联系，这就使得三种解决最优控制的基本方法在一定条件下得以沟通。

5、第一章引言庞特里雅金于1956年至1958年间创立的最大值原理是经典最优控制理论的重要组成部分和控制理论发展史上的一个里程碑。它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效方法。由于它放宽了求解问题的前提条件，使得许多古典变分法和动态规划无法解决的工程技术问题得到了解决。同时庞特里雅金在他的著作中已把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。对于最优控制问题，由动态规划方法以及最优性原理可以得出其值函数所满足的Hamiiton--Jacobi--BelIman方程(简称HJB方程)，解HJB方程相当于解一个最优化问题和一个

6、偏微分方程问题。但是由于在求解的过程中这两个问题是有机结合无法分离的，也就是要求解一个带有优化问题的偏微分方程，这显然超出了一般微分方程的研究范围，也是一般的优化理论无法解决的，这就增加了问题的难度，所以研究最优控制问题的数值计算在实际中具有重要的意义。由于HJB方程一般没有解析解，所以要转而研究其数值解法。M．G．Crandall和P．L．Lions在文献[4】中引入了Hamilton．Jacobi方程的粘性解，并证明了它的唯一性。M．G．Crandall，L．C．Evans和P-L．Lions．又在文献【5

7、]中讨论了粘性解的一些性质。HalilMeteSoner在文献[6】中讨论了有约束的粘性解的存在唯一性(有关粘性解的理论也可参阅文献【9]一【121)。而近几年来，人们发现利用粘性逼近并结合有限差分方法求解HJB方程是求解值函数的近似值的一个有效方法．。从实际数值计算的角度，这就加快了非线性最优控制问题数值解的发展速度。其中C．S．Huang，S．WangandK．L．Teo在文献[3】中提出的ModifiedMethodofCharacteristics方法(简称MMOC方法)就是求解HJB方程的数值解的一个

8、有效方法。(其他方法也可参阅文献[13111411361--[391)1．2多项式全局优化问题的介绍给定一个实值多项式p(x)：R”jR，主要考虑如下的无约束优化问题(P)P’=mi．n。p(x)(1．1)JE“即求出p(x)的全局极小值P+，如果可能的话，还可以求出p(x)的全局极小点X’．对于一维情况下的多项式优化问题，Shor([15])首先说明无约束优化问题(1．1)可以归结为