高考球类型及例题

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1、高考球类型及例题1、球定义2、球面距离经度纬度：此类题主要目的在于明确经度和纬度概念，注意及利用圆的有关性质，弧长公式，球的截面的性质等球截面：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．3、球内接多面体：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题4、多面体内切球、：解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．5、球与球外切：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心

2、的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比总之：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．类型例题一球定义例1　过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（　　）．A．有且只有一个　　　B．一个或无穷多个C．无数个　　　　　　D．以上均不正确分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B．答案：B说明：解此易选出错误判断A．其原因是忽视球心的位

3、置．类型例题二球面距离经度纬度例1．已知地球的半径为，球面上两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为，点在东经30上，求点的位置及两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度．分析：求点的位置，如图就是求的大小，只需求出弦的长度．对于应把它放在中求解，根据球面距离概念计算即可．解：如图，设球心为，北纬45圈的中心为，由两点的球面距离为，所以=，为等边三角形．于是．由，．即=．又点在东经30上，故的位置在东经120，北纬45或者西经60，北纬45．两点在其纬线圈上所对应的劣弧．说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用

4、球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．类型例题三球截面例1在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和．求球的表面积．分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，，且若、分别为两截面圆的圆心，则，．设球的半径为．∵，∴同理，∴设，则．在中，；在中，，∴，解得，∴，∴∴．∴球的表面积为．例2．用两个平行平面去截半径为的球面，两个截面圆的半径为，．两截面间的距离为，求球的表面积．分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三

5、角形等图形，利用方程思想计算可得．解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于，上述大圆的垂直于的直径交于，如图2．设，则，解得．．说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．例3　、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？分析：、是球面上两点，球面距离为，转化为球心角，从而，由关系式，越小，越大，是过、的球的截面圆的半径，所以为圆的直径，最小．解：∵球面上、两点的球面的距离为．∴，∴

6、．当成为圆的直径时，取最小值，此时，取最大值，，即球心与过、的截面圆距离最大值为．说明：利用关系式不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径与球心到截面的距离之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角有关，而球心角又直接与长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索，继续看下面的例子．例4　球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（　　）．A．　　　B．　　　C．　　　D．分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解

7、．设球的半径为，小圆的半径为，则，∴．如图所示，设三点、、，为球心，．又∵，∴是等边三角形，同样，、都是等边三角形，得为等边三角形，边长等于球半径．为的外接圆半径，，．答案：B说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．类型例题四球内接例1．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密

8、切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．=．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．例2　半径为的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高