高斯定理 数学专业毕业论文

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1、高斯定理摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最后把高斯定理推广到万有引力场中去。关键词：高斯定理；应用；万有引力场GaussiantheoremAbstract:Gaussiantheoremisanimportanttheoremofelectromagnetism.Itnoto

2、nlyhasimportantapplicationinelectrostaticfield,butalsoisanimportantequationinMaxwellelectromagneticfieldtheory.ThisthesisintroducestheGaussiantheoremindetailandprovesitbyusingmanymethodssuchasthemathematicalmethodandthedirectproofmethodetc.Italsointroducesthe

3、severalproblemsthatweshouldpayattentiontowhenweapplyanduseGaussiantheorem.ItcanbefoundconvenientwhenweusetheGaussiantheoremtosolvetheproblemsrelatedtotheelectromagnetism.ThelastpartofthisthesisistointroducetheGaussTheoremtotheGravitationalField.Keywords:Gauss

4、iantheorem;Application;Gravitationalfield15目录1高斯定理的表述11.1数学上的高斯公式11.2静电场的高斯定理11.3磁场的高斯定理22.1.1静电场的高斯定理22.1.2磁场的高斯定理42.2高斯定理的直接证明52.3高斯定理的另一种证明63高斯定理的应用84将高斯定理推广到万有引力场中114.1静电场和万有引力场中有关量的类比114.2万有引力场中的引力场强度矢量114.3万有引力场中的高斯定理125结束语12参考文献14谢辞1515引言高斯定理又叫散度定理，高

5、斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。1高斯定理的表述1.1数学上的高斯公式设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成，若函数在上连续，且有一阶连续函数偏导数，则1－1其中的方向为外发向。1－1式称为高斯公式[1]。1.2静电场的高斯定理一半径为的球面包围一位于球心的点电荷，在这个球面上，

6、场强的方向处处垂直于球面，且的大小相等,都是。通过这个球面的电通量为其中是球面积分，等于。从此例中可以看出，通过球面的电通量只与其中的电量有关，与高斯面的半径无关。若将球面变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为。15若闭合曲面内是负电荷，则的方向处处与面元取相反，可计算穿过面的电通量为。若电荷在闭合曲面之外，它的电场线就会穿入又穿出面，通过面的电通量为零[2]。如果闭合面内有若干个电荷，由场强叠加原理可知，通过面的电通量为此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包

7、围在该面内的所有电荷的代数和的分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面称为高斯面，对于连续分布的电荷，电荷体密度为，则上式可以表述为1.3磁场的高斯定理由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示：与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在

8、静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，极和极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即磁场是无源场[2]。2高斯定理的证明2.1高斯定理的数学证明152.1.1静电场的高斯定理静电场