《基础代数学》教学大纲

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1、《基础代数学》教学大纲(2018年)一、概况1．开课学院（系）和学科：数学科学学院2．课程代码：3．课程名称：《基础代数学》4．学时/学分：64学时/4学分(每周4学时,第1周-第16周)5.开课时间：第1学期6．预修课程：数学分析、解析几何、初等数论、线性代数、近世代数、群表示论、拓扑学7.教材和主要参考书：(1)基础代数学讲义,章璞,吴泉水(2)BasicAlgebraII,NathanJacobson,W.H.FremanandCompany,1982(3)AcourseinHomologicalAlgebras,P.J.HiltonandU.Stammbach,GTM

2、4,Springer,PrintedinBeijing,China,(4)群与代数表示引论，冯克勤、章璞、李尚志，中国科学技术大学出版社，2006二、课程内容简介本课程是数学学院研究生的公共基础课。它不是为代数方向研究生设置专业课程，更不是本科生课程“抽象代数”的重复或补充。它为数学科学学院各方向研究生提供基本的公共的现代代数学的理论、思想、方法、和工具。因此选择的内容兼顾普适性、基础性和重要性。过于专门化的理论或细节不是这门课的任务。因为本科阶段已开设“群表示论”课程，研究生阶段也会开设“表示论”和“交换代数”，本课程主要内容包括环与代数上的模论，范畴论，和同调代数。三、课

3、程的教学内容第1章模论(28学时)以模范畴为载体，强调强调代数学研究的一般观点和思路1环和代数上的模（4）根据学生的情况，回顾一下环.定义域上代数，给出域上代数的基本例子：多项式代数，矩阵代数，四元数代数等.有限域上有限维可除代数是域（Wedderburn定理）；实数域上有限维可除代数的Frobenius定理.说明域上代数的平行于环的基本性质.模的定义与例子；强调作用的思想和意义；几类研究对象在模概念下的统一：域上向量空间，Abel群，带有线性变换的向量空间，环和代数本身作成的正则模等.指出环上模和代数上模的区别及平行性；指出左模和右模的区别及平行性；指出模和表示这两个概念的

4、等价性。子模及其例子：子空间，Abel群的子群，线性变换的不变子空间，环和代数的(左)理想等在子模概念下的统一.子模的交、和；循环模、若干元素生成的子模.强调研究模的基本方法是研究模与模之间的联系，而反映这种联系的概念就是模同态；核、像、余核；同构；商模的构造；自然满态.模同态的基本定理及其他相关定理（与结构理论中的类似结果作比较）；Hom2模的构造（2）模的直和、直积及其区别；提升和限制；模同态的矩阵表达；模的直和的自同态代数重要的例子：利用线性代数说明k[x]/(x^t)上的全部的两两互不同构的不可分解模.双模.3单模与半单模（2）Schur引理（包括代数闭域上代数的情形

5、）.Zorn引理.利用Zorn引理证明单模的存在性.半单模M（即完全可约模）的等价刻画.4Wedderburn－Artin定理（2）单环（单代数）的例子；半单代数（指有限维）；单代数是半单代数；半单代数的结构定理（Wedderburn－Artin定理）：表述及证明.半单代数上的不可约模：归结为单因子上的不可约模；给出单代数上的不可约模.5范畴与函子（2）范畴的概念和例子.零对象与零态射.单态射与满态射.函子,反变函子,Hom函子.函子的自然变换与自然同构.满函子、忠实函子、稠密函子.范畴的等价6正合性（2）正合列；短正合列.“五引理”,“短五引理”和“蛇引理”的表述及证明，意

6、在说明“追图法”（diagramchasing）。特别要说明蛇形引理中核和余核之间的连接同态及其自然性。正合函子；左（右）正合函子；Hom函子的左正合性7Jordan-H"older定理（2）Schreier加细定理；Jordan-H"older定理；强调Jordan-H"older定理对研究模的意义.合成列与合成因子,维数向量.有限维代数仅有有限个单模.8Artin模与Noether模（2）基本性质；Fitting引理；由合成列的模.Artin环与Noether环.Hilbert基定理9Krull-Schmidt-Remak定理（2）局部环.模的不可分解性、其自同态环

7、仅有平凡的幂等元、其自同态环的局部性三者之间的等价性.Krull-Schmidt-Remak定理及其意义。10自由模与投射模（2）自由模及其意义；交换环上有限生成自由模的秩（rank）；主理想整环上有限秩自由模的子模。可裂单、可裂满、可裂短正合列的等价刻画。投射模及其等价刻画.11内射模（2）内射模及其等价刻画;Baer准则.可除模;内射Z-模;任意模可嵌入内射模12张量积与平坦模（4）用泛性质定义张量积并理解其基本性质投射模是平坦模；张量函子是有正合函子。平坦模。伴随对的定义；Hom-Tensor伴随