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1、随机振动分析基础1随机振动的特点对某振动运动，其规律显示出相当的随机性而不能用确定性的函数来表达，使得只能用概率和统计的方法来描述，这种振动被称为随机振动。随机振动可以由系统构成参数本身有随机性而导致，但在多数情况下主要由激振源的随机性所引起。本节主要研究这后一种情况，即确定性系统在随机激励下的振动响应。汽车方面的典型例子是路面的随机凹凸不平使行驶的汽车产生随机振动；被切削工件表层软硬不均使车刀及刀架产生随机振动；风对建筑结构的随机激励；地震对结构的随机激励；浪使船舶产生随机振动；大气湍流使机翼产生随机振动等等。下图为一随机振动的时间历程
2、样本函数表示。所谓样本函数是指随机振动本身是以时间t为过程参变量的函数过程。随机振动时间历程样本函数从随机性的物理性质出发，这样各不相同的函数应有无穷多个，每一个只是一个样本，最后构成集合{xi(t),i=1,2,3,…;t∈[0,∞)}。取尽各种可能性的无穷多个样本函数的集合称为样本函数空间。取t=tk时刻各样本函数瞬时值构成一个序列X(s,tk)={xi(tk),i=1,2,3,…;tk∈[0,∞)}；s用于表记对应不同的样本函数。每个xi(tk)是tk时刻的瞬时振动幅值，称为是随机变量X(s,tk)的在s=si的一个样本点；所有样本
3、点的集合S＝{si}就是随机变量X(s,tk)的样本空间；随机变量X(s,tk)随样本点的不同随机地取不同的值，即X(s,tk)是样本点s∈S的函数。同时注意它也是过程参变量tk∈[0,∞)的函数。当随机变量蕴含的是样本点的函数的意义明显且希望强调它是过程参变量t的函数时，简记此随机变量为X(t)。当tk取不同值时，可得不同时刻的随机变量X(tk)；从原理上看，对于各样本函数是时间的连续函数的随机振动，只有t连续变化为无穷多个时刻而得出无穷多组随机变量X(t)才能完整地描述一个随机振动。这样实际形成的是以时间为过程参数的一族随机变量，这样
4、定义的随机变量族就被称为随机过程。随机振动是一种典型的随机过程。另外，也可以选用其它参数为随机过程的过程参数。2相关函数和功率谱密度函数1.相关函数掌握随机变量的性质是通过了解它的概率结构，最自然是通过其概率密度函数p(x)或概率分布函数P(x)。完整地掌握p(x)或P(x)通常比较困难，因此常用的统计描述是讨论随机变量的各低阶矩数字特征，如数学期望（均值），均方值和方差等。作为增加了过程参数t的随机变量族的随机过程，可通过对随机变量数字特征(矩函数)对过程参数的扩展定义来研究其统计特性。对图1.5-1所示随机振动，取离散时刻t1,t2,
5、…,tn可得一族随机变量X1,X2,…,Xn。这些随机变量的概率结构可由概率密度函数及不同时刻的随机变量间的联合概率密度函数表达为p(x1,t1)，p(x2,t2)，…，p(x1,t1;x2,t2)，p(x2,t2;x3,t3)，…，(1.5-1)…，p(x1,t1;x2,t2;x3,t3;…;xn,tn)上述表达的n维概率密度函数能够近似描述原连续的随机过程的统计特性，n越大近似程度越高，当n趋于无穷大时，(1.5-1)就完全表达了该随机过程的统计特性。类似于研究随机变量统计性质时对各阶矩的定义，可定义随机过程的各阶矩函数如下：k=1,
6、2,3,…,nk,j=1,2,3,…,nk,i,j=1,2,3,…,n……(1.5-2)可以证明，用矩函数或用概率密度函数（或概率分布函数）来描述随机过程数学上是等价的。理论上完整地确定一个随机过程，需要确定所有各阶矩函数，明显这对实际应用来说又是一个过分的苛求。因此，实践上特别强调运用低阶矩即1，2阶矩函数。1阶矩函数称为均值函数，定义为(1.5-3)2阶矩函数称为相关函数，定义为(1.5-4)(1.5-4)针对的是一个随机过程，因而可更细分地称为自相关函数，以双下标xx代表；如果研究的对象包括有两个随机过程X(t),Y(t)，可以类似
7、地定义出互相关函数如(1.5-5)均值函数和相关函数虽然只是随机过程的矩函数表达系列中的两个低阶矩函数，但它们却表征了随机过程许多重要统计特征。特别对一类实际上很常见的高斯随机过程，其高阶矩函数可以由1，2阶矩函数表示，因此，对高斯随机过程，均值函数和相关函数完全表征了它的概率结构。而对于非高斯过程，这两矩函数也代表了其统计性质中非常重要的一大部分。高斯随机过程，又称为正态随机过程，是这样一种随机过程：它在任意时刻tk的状态都服从正态分布，即是高斯随机变量。定义为：对于任意n，X(t)的n个样本为X(t1)，X(t2)，…，X(tn)，记
8、x={x1，x2，…，xn}T，mX={mX(t1)，mX(t2)，…，mX(tn)}T，X(t)的n维联合概率密度函数为其中C为协方差矩阵记CX(ti,tj)=E[(X(ti)－mX(ti)
