全国高中数学联赛试题及解答一试、加试

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1、2015年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.21.设ab,为不相等的实数,若二次函数fx()xaxb满足fa()fb(),则f(2)的值为.答案:4.aba解:由已知条件及二次函数图像的轴对称性

2、,可得,即20ab,所以22f(2)42ab4.142.若实数满足costan,则cos的值为.sin答案:2.222解:由条件知,cossin,反复利用此结论,并注意到cossin1,得22142cossincossinsinsin22(1sin)(1cos)2sincos2.3.已知复数数列{z}满足z1,zz1nni(1,2,),其中i为虚数单位,zn11nnn表示z的共轭复数,则z的值为.n2015答案:20151007i.解:由已知得,对一切正整数n,有zznznnznn21

3、11in1i11in2i,于是zz10072i20151007i.201514.在矩形ABCD中,AB2,AD1,边DC上(包含点D、C)的动点P与CB延长线上(包含点B)的动点Q满足DPBQ,则向量PA与向量PQ的数量积PAPQ的最小值为.3答案:.4解:不妨设ABD(0,0),(2,0),(0,1).设P的坐标为(,1)t(其中02≤≤t),则由DPBQ得Q的坐标为(2,t),故PA(t,1),PQ(2t,t1),因此

4、2PAPQ(t)(2t)(1)(t1)t2t1t133.24413当t时,PAPQ.2min45.在正方体中随机取3条棱,它们两两异面的概率为.2答案:.55解:设正方体为ABCDEFGH,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有3C220种.12下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即AB、AD、AE的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB,则AD方向只能取棱EH或棱FG,共2种可

5、能.当AD方向取棱是EH或FG时,AE方向取棱分别只能是CG或DH.82由上可知,3条棱两两异面的取法数为428,故所求概率为.220556.在平面直角坐标系xOy中,点集K(,)xyx3y63xy60所对应的平面区域的面积为.答案:24.解:设K(,)xyx3y60.先考虑K11在第一象限中的部分,此时有xy36,故这些点对应于图中的OCD及其内部.由对称性知,K对应的1区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部.同理,设K(,)3xyxy60,则K对22应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部.由点集K的定义知,K所对应

6、的平面区域是被K、K中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S.12由于直线CD的方程为xy36,直线GH的方程为36xy,故它们的交点P的33坐标为,.由对称性知,2213SS88424.CPG227.设为正实数,若存在ab,(ab2),使得sinabsin2,则的取值范围是.9513答案:,,.424解:由sinabsin2知,sinabsin1,而[,ab][,2],故题目条件等价于:存在整数klkl,(),使得

7、222kl.①22当4时,区间[,2]的长度不小于4,故必存在kl,满足①式.当04时,注意到[,2](0,8),故仅需考虑如下几种情况:515(i)2,此时且,无解;22245995(ii)2,此时有;224291313913(iii)2,此时有,得4.22424951

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