【硕士论文】非光滑函数一阶二阶广义导数的研究.pdf

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1、摘要非光滑蛹数的一阶二阶广义导数是非光滑分析的重要组成部分，是研究非光滑最优化叫题的基础由于缺少光滑特征，经典的基于微分概念的非线性规划理论和算法不再适用于_非光滑最优化问题，需要将微分概念推广，在广义导数理论基础上建立相应的最优性理论和计算方法．因此，研究非光滑函数的各种一阶二阶广义导数及其相应的微分学理沦显得非常必要本文在凸分析的基础上，研究凸两数、局部Lipschitz函数、F半连续函数等非光滑函数的微分性质主要结构概括如下：第1章简要地介绍非光滑函数一阶二阶广义导数的研究背景和发展状况．同时概述了本文的研究内容和取得的主要结果．第2章由于凸函数是‘类重要的非光滑函数，因此对其进行主

2、要研究．对于凸函数，引入阶著商函数的概念，利用次微分外半连续性得出其筹商函数△，I(x)的～致收敛性，同时利用△，I(x)和Rademacher定理，得到函数，(z)几乎处处可微．此时，凸函数的一阶导数几乎处处存在．研究其二阶广义导数时，引入-二阶差商函数和p，的一阶若商丽数的概念，借助于二阶凸分析中经典定理Rademacher定理和Mignot定理，得到两差商函数～致收敛性及其相互芙系，当，(。)广义二阶可微时，矩阵存在对称且半正定．第3章将方向导数的概念推广到局部Lipschitz函数和下半连续函数中，将次微分概念推』。为局部Lipschitz函数的广义次微分和下半连续的近似次微分，研

3、究不同的阶广义导数之间的关系．并且研究n函数基于半导数的广义展开．关键词：非光滑函数；次微分；差商函数；半导数函数；集值映射：一致收敛非光滑函数一阶二阶广义导数的研究1绪论本章简单介绍了非光滑函数的一阶-二阶广义导数的研究背景，发展状况以及本文的研究内窬和取得的主要结果．1．1非光滑函数的一阶_二阶广义导数产生的背景及其发展状况随着一战后运筹／优化与控制(变分问题)的研究与应用的迅速发展，在n分析不断完善，极大函数(极大极小问题)及Lipschitz雨数的微分性质与极值问题的研究不断深入的基础上，非光滑分析或不可微分析与优化逐步形成了。个新的研究热点，带来了70年代集中地系统地广泛研究与发

4、展．五六十年代较为有影响性与奠基性的工作青凸分析，以Fenchel、Rockfellar等为代表fRockfellar(1970)1；极大极小问题，以Pshenichnyi(1960／1970)Demyanov＆Malozenmv(1972／1974)等为代表；非光滑函数(包括Lipschitz函数)的极小化算法，以Shor(1974．1980)及Poljak(1969)等为代表．七卜年代初，Clarke(1973／1975)在Lipschitz函数微分学的研究方面取得了突破性的进展，以Lipschitz函数为主的非光滑分析与优化已形成独立的研究领域．存非光滑分析研究中，凸函数、局部Lip

5、schitz函数、下半连续函数是i类比较重要的函数是一类霞要函数．(1)凸函数设SCR“是一个开凸集，函数fS—R，如果，(Azl+(1一A)x2)≤A，扛1)+(1一A)／(x2)Vxl，X2∈S，VA∈[0，1】则称，(z)是SE的凸函数．它具有的卟重要性质是其局部极小点是令局极小点．次微分是研究n函数一阶性质时的一个重要概念，它的给出在研究^函数的一阶性质力丽有重大突破，其定义如下：凸函数／：R“一R在。点处的次微分是集合Of(x)={矿∈R”d／(y)≥，如)+<。+，Y一￡>VⅣ∈R”)每个元素z+∈Of(x)称为，在z点处的次梯度．山丁a，扛)是集值映射，所以我们可以借助于集值

6、映射的性质来研究次微分的性质．集值映射的定义如下：若咖∈R”，有F(z)为舻‘中一予集，则称F足集值映射集合domF={z∈R“IF(x)≠D}是F的有效域．内、p连续与外、r连续是集值映剁巾的重要概念．非光滑函数一阶二阶广义导数的研究集值映射在点X处称为外半连续的，若vE>0，郅>0，使得F(。7)cF扣)+B(O，E)，Vx’∈B(x，6)其中B(x，d)={x’∈R“⋯z7一z

7、

8、≤d}．若F在s中每一点都是外半连续的，则称F在Sr外半连续．若垤>o，那>o，使得F(。)+B(o，￡)cF(x’)，比’∈B(x，d)．则称F在点z是内半连续的．菪F在s中每一点都是内半连续的，则称F在

9、S上内半连续．次微分映射具有外半连续性：直¨果，在兄”上是正常的凸函数，，’(《Y)是(x，Y)∈【in$(domf)×月1的t半连续函数，而且Vz∈in$(dornf)，VE>0，j6>0，使得Of(z)ca，扛)+6口，Yz∈$+EB其中B是欧几里德单位球．在非光滑优化中，经常遇到的是外半连续性，这主要因为Clarke广义次微分是外半连续的，m许多非光滑优化算法的收敛性研究都利用了这个性质．f21局部Lipschit