数学建模案例分析--最优化方法建模5产品试验与设计

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1、§5产品试验与设计　　许多产品如橡胶、塑料、农药、饲料等都是由若干种原材料按一定配比混合加工而成，不同的原料配比既可影响产品的质量，也会影响企业的利润，于是存在着所谓最佳配比问题。另外，一些机电产品在设计或加工过程中的若干参数，也存在类似的优化问题，试看以下的例子。例10某种橡胶制品含有种原材料，制品的强度、硬度、变形率等指标与各种原材料的含量有关，试配合试验建立适当的数学模型。寻求最佳的原料配比。首先经过试验并结合一定的理论分析，确定各性能指标与原材料含量之间关系。记种原料含量分别为，强度、硬度、变形率3个指标分别为，，。取不同

2、的原料配比作组试验，得以下数据：。　　设根据理论分析和经验，与，，间有函数关系。（1）　　然后，建立寻求最佳原料配比的数学模型。为简化问题，确定一个主要指标如强度作为目标函数，而将另外2个指标作为约束条件处理，这时模型可表为：（2）（3）（4）（5）（6）其中是硬度指标下限，是变形率的上限，（5）是将作为配比（%）而引入的。一般来说，这是一个非线性规划模型。实际上，由（1）式确定也可视为非线性规划问题，只不过当它们是线性函数时，问题化为线性规划，很容易求解。例11某厂生产种饲料，它们均由种原料配合而成，在中含量（百分比）的上限为，

3、下限为。若的售价为（元/千克），的成本为（元/千克），的供应量不超过，，试确定各种饲料的产量及其原料配比，使工厂的利润最大。决策变量是各种饲料的产量及其中各原料所占百分比。记的产量为，在中的比例为。目标函数是工厂的利润，即总收入与总成本之差。的收入为，而在中的成本为，于是利润为（1）用量的约束条件为（2）原料含量的约束条件为（3）（4）（5）（6）问题归结为在条件（2）~（6）下求，，使（1）式给出的最大。例12在汽轮机转子叶片的安装设计中有如下的问题：由于考虑到共振等因素，各个叶片的质量和形式需要微小的差别。这样当转子转动时，各

4、个叶片产生的惯性离心力的大小就有差异，以至形成总的偏离轴心的作用力。设计中要将各叶片适当排列，让不同方向的离心力尽量抵消，使总的离心力达到最小。由于叶片数量很多（如一百以上），经验方法难以奏效，所以希望用建模方法找到最佳的叶片排列方案。假设有个叶片，已知它们转动时产生的离心力的大小为，转子的一周分为等分，各分点表示安装叶片的位置，其幅角为，于是当叶片安装在位置上时，产生的离心力（向量）可用复数表示。叶片的安装方案可以看作一个任务分派问题，我们引入0—1变量则个叶片的合力（向量）为问题的目标函数可取合力F的模的平方（1）约束条件显然

5、为（2）（3）（4）由于乘积项在（1）式中出现，这是一个二次规划模型。