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《数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§4足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射
2、门的威胁度和危险区域作进一步研究。二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。某一球员在球门前某
3、处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们
4、遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。三、模型假设1、在理想状态下，认为球员的基本素质是相同的，或差别不大；2、不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，设球速为10米/秒；3、球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域；4、只考虑标准的球场：长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。四、符号说明：半场上的一个球门所在平面，是地面以上的半平面；：球门内有点在球门平面上所表示的区域，即；：球场上的点，为其坐标；：球门内的点，为其
5、坐标；：从球场上A点对准球门内B点射门对，命中球门的概率；：球场上点对球门的威胁度；：球员的基本素质，是一个相对指标；：球场上A点到球门内B点的直线距离；：直线AB在地面上的投影线与球门平面的夹角（锐角）。五、模型建立与求解首先建立如图所示的空间直角坐标系，即以球门的底边中点为原点，地面为面，球门所在的平面为面。AB问题（1）根据前面的分析，在此假设基本素质为的球员从点向距离为的球门内目标点射门时，球在目标平面上的落点呈现二维正态分布，且随机变量是相互独立的。其概率密度函数为（1）其中方差与球员素质成反比，与射门点和目标点之间的距离
6、成正比，且偏角越大方差越小。当时（即正对球门中心），仅与，有关。由此,我们可以确定的表达式为其中，。注意到，在（1）式的密度函数中，关于变量是对称的，但实际中球只能落在地面以上，即只有。为了平衡这个密度函数，我们令则取两者的比值即为这次射门命中球门的概率（2）对命中球门的概率（2）在球门区域内作积分，定义为球场上某点对球门的威胁度，即综合以上分析，对于球场上任意一点关于球门的威胁度为其中，，。要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积分的方法求解。首先确定反应球员基本素质的参数，具体方法如下：根据一般职业球员的情况，我们认为一个球
7、员在球门的正前方（）距离球门10米处（=10）向球门内的目标点劲射，标准差应该在1米以内，即取，由可以得到。于是，当球员的基本素质时，求解该模型可以得球场上任意点对球门的威胁度，部分特殊点的结果见下表。根据各点的威胁度的值可以作出球场上等威胁度的曲线。位置(0,1)(0,5)(0,10)(0,20)(0,30)(0,50)(3,1)(3,5)(3,10)(3,20)问题114.4614.5412.698.645.712.8111.5613.4811.767.95问题212.9412.018.974.802.761.1010.0710
8、.938.384.57位置(3,50)(5,1)(5,5)(5,10)(5,20)(5,30)(5,50)(10,1)(10,5)(10,10)问题12.676.3011.4110.367.164.872.510.895.336.47
