猴子分苹果问题

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1、已经知道了整系数方程的一个解那么我们就能知道它的全部整数解。事实上，如果是已知方程的另一解，则由得由于互质，从而必有整数使此时于是，我们得到:(=0,)以上表明，如果我们能够看出二元一次不定方程的某个特殊解，那么要写出其全部整数解，几乎不会有什么困难。1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出过以下有趣的问题：“海滩上有一堆栗子，这是5只猴的财产，它们要平均分配。第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把栗子分成相等的5堆。分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里

2、，自己拿走5堆中的一堆走了。第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把栗子分成相等的5堆，还是多一个。它也扔掉一个，自己拿走一堆走了。以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理。问：原来至少有多少个栗子？最后至少有多少个栗子？”这道题可以这样解答：设原来有个栗子，最后剩下个栗子。依题意得：整理得1024-3125=8404。要解上述不定方程似乎不太容易。但如果注意到系数3125-1024=2101，恰为8404的，也就知道-4，-4是方程的一个特解。根据前面我们讲到的公式，上述不定方程的所有整数解可以写成：(=0,)上式当-1时，得到最小的

3、正数3121及最小的正数1020。这就是李政道教授所提问题的答案。李政道教授在讲到上述这一问题时还指出：著名的英国物理学家狄拉克，曾提出过一个巧妙的解法。狄拉克的方法，这里不准备介绍；但最终的结论不能不提，因为它简洁得使人惊异！狄拉克的答案是：如果题中的猴子数为5，则有然而，怎样才能保证方程有整数解呢？我们说只要、互质，上述不定方程就必然有整数解。事实上，当、互质时，我们一定能够找到一组整数、，使得：这样就有即得求、的方法，其历史相当古老，相传是由古希腊数学家欧几里得最早想到的。欧几里得方法的核心是辗转相除。两数与（<）辗转相除指的是：用除，得余

4、数；若1，则用除，又得余数；若1，则转过来用除，再得余数；如此反复，辗转相除。由于、互质，上述步骤必达某余数等于1而止。利用辗转相除的式子，逐一倒推，即可求得、。我们以上节李政道教授问题中的不定方程为例，来讲解这一道理。令1024+3125=1,显然，=1024，=3125。用辗转相除法：由上面各式逐一倒推可得1=17-2=17-（53-173）8=1725-538=（1024-5319）25-538=102425-53483=102425-（3125-10243）483=10241474-3125483，于是得到=1474，=-483。又因=8

5、404，从而上一节讲过，不定方程1024-3125=8404的所有整数解是上面所求的解，相当于=-3964，这也是一个特解。从表面上看，本节所求的特解要比上一节的特解-4，-4复杂得多，但两者是有很大不同的。前者靠的是科学推理，后者凭的是一时的猜想。一时的猜测乃思维的贫困，严密的推理系科学的结晶。