2010-2011学年第一学期线性代数期末考试

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1、2010-2011学年第一学期线性代数期末考试一．（12分）回答问题：1.矩阵等价于矩阵的定义是：2.矩阵相似于矩阵的定义是：3.实矩阵是正交矩阵的定义，或者充要条件是：4.实矩阵是对称正定矩阵的定义，或者充要条件是：二．（24分）填空：1.设矩阵对应特征值的3个线性无关的特征向量为，常数满足什么条件时，也是的特征向量．2.将3阶行列式的第1列的2倍加到第2列得到的行列式记为，再对换的第2行与第3行得到的行列式记为，那么和及的数值关系是什么？3.设矩阵的特征值互不相同，且，则4.设为2阶方阵，2维列向量组线性无关，且

2、满足，，则的全体特征值是5.设矩阵的各行元素之和是3，且，则的伴随矩阵的各行元素之和是6.设线性方程组有唯一解，划分，其中为矩阵，为矩阵，则齐次方程组的基础解系中含解向量的个数的范围是三．（10分）计算行列式提示：的第一行四．（16分）已知可由，，线性表示，求数及全体表示式．五．（16分）已知为实对称矩阵，二次型在正交变换下的标准型为，且的第3列为．1)求矩阵及；2)求方程的解．六．（14分）在向量空间中，基（I）与基（II）满足，，1)求由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵；2)求在基（I）下的坐标．七．（8分）设

3、为维列向量组，令．1)证明；2)如果线性相关，证明．例2已知3阶方阵A=(a1,a2,a3),det(A)=2,3阶方阵B=(a1-a2+2a3,a2+a3,a2-a3),求det(B).例3已知3阶方阵A的行列式det(A)=2,求det(A-1-2A*)例4求例1中的第一行代数余子式之和.例12´2方阵X满足AXB=2AX+C,其中A,B,C是已知二阶方阵，求X;(A+E)-1(A2-2A+3E)例2三阶方阵P,A,A=(a1,a2,a3),如果AP=(2a1,a1+a2,a3-a1),则P=______例3设A

4、是m´n的矩阵，且m>n，则det(AAT)=___例4设A是列满秩矩阵，证明:det(ATA)>0例5设A是实对称矩阵，证明：对于"x¹0,都有xTAx/xTx£maxl(A)例6求f=x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz在满足x2+y2+z2=1的条件下的最大值与最小值。例7设A是3阶方阵，rankA=1,det(A+3E)=0,问A是否可对交化?说明理由.例8证明：若n阶方阵A满足A2=A,则rank(A-E)+rankA=n，且A可对角化。例9设A为n阶方阵，证明：例1设A是n阶方阵，x是n维列向量，若存

5、在一正整数k使得Ak-1x¹0，Akx=0，证明向量组x,Ax,¼,Ak-1x线性无关.例2设A是三阶方阵，l1,l2是A的两个互异特征值，x1与x2是对应的特征向量，又Ax3=x2+l2x3,证明向量组x1,x2,x3线性无关。例3设向量空间V={(x1,x2,¼xn)

6、x1-2x2=0,x2+x3-x4=0,x1-x2+x3-x4=0},则dimV=_______例4设A,B分别是m´n与n´p矩阵，且AB=0，证明rankA+rankB£n例5设矩阵A,B都是n阶方阵，证明：若rankA+rankB

7、=0与Bx=0必有公共非零解。例6若方阵A,B满足A-B=AB，证明:1不是B的特征值（B-E可逆）；例7正交矩阵的实特征值只能是正负1.