论应力状态理论

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1、第31卷第5期许昌学院学报Vol．31．No．52012年9月JOURNALOFXUCHANGUNIVERSITYSep．2012文章编号:1671－9824(2012)05－0025－05论应力状态理论王芳(大同大学朔州师范分校自然科学系，山西朔州036002)摘要:借助数学工具解决弹性力学的基本问题，在弹性力学基本假定下详细解释什么是应力，其中包括应力的基本概念、如何描述一点处的应力状态及应力球张量与应力偏张量的基本内涵，并给出了定解问题所必须的边界条件，以及转轴作用下的应力转换方法和应力张量与应力偏量．关键词:应力;斜面应力;边界条件;球张量;应力偏量;转轴时

2、应力分量中图分类号:O343文献标识码:A应力的概念是固体力学中最重要的概念之一，应力分量具有张量的特性，当考虑单元体的平衡时，可得到平衡微分方程和边界上得到边界条件．边界条件在弹性力学问题的求解中占有重要的地位．本文主要借助数学工具明确给出应力的概念、一点处的应力状态、斜面应力公式的边界条件及应力球张量与应力偏量．1应力状态理论1．1应力的基本概念［1］［2］固体材料在受外力作用时就要产生内力和变形．应力就是用以描述物体中任何部位的内力的力学量，而用以描述物体中任何部位的形变特征的力学量为应变．［2］为了说明应力的概念，假想通过物体内任一点P作法线方向为v的微小面

3、积Δs，此微小面积把物体在P点的微小领域分割为A、B两部分(图1)．如将B部分移去，则B对A的作用应代之以B部分对A部分的作用力．这种力在B移去之前是物体内A、B之间在C截面上的内力，且为分布力．如从C面上P点的领域取出一→包括P点在内的微小面积元素Δsc，而Δsc上的内力矢量为Δp，则图1P点处的应力→→内力的平均集度为Δp/Δsc．如令Δsc无限缩小而趋于P点，则内→→→力连续分布的条件下，Δp/Δs趋于一定的极限σν，即→→Δpσν=lim→，(1)Δsc→0Δsc→→这个极限矢量σν就是物体在过法线方向为ν的C面上P点处的应力．故σν的方向与Δp的极限方向一

4、致．在以上的讨论中，过P点的C平面是任选的．显然，过P点可以做无穷多个这样的平面C．或者说，过P点可以做无穷多个连续变化的ν方向．不同面上的应力是不同的．这样就产生了一个到底如何描绘一点［3］处应力状态的问题．下面将讨论这个问题．收稿日期:2012－02－23基金项目:国家自然科学基金资助(10672022;10372016)作者简介:王芳(1983—)，女，山西朔州人，助教，硕士，研究方向:准晶动力学．26许昌学院学报2012年9月1．2一点处的应力状态［3］为了研究P点处的应力状态，在P点处沿坐标轴x1，x2，x3方向取一个微小的平行六面体(如图2)，其六个面的

5、外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其中三个正面，三个负面，各边长分别为Δx1，Δx2，Δx3．假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力矢量便可用作用在各面中心的一个应力矢量来表示．每个面上的应力又可分解为一个应力和两个剪应力分量．为方便起见，仅考虑作用在正面上的9个应力分量．把作用在三个正面dsi上的应力矢量σi沿坐标轴方向分解，得→→→→σ1=σ11e1+σ12e2+σ13e3，→→→→σ2=σ21e1+σ22e2+σ23e3，(2)→→→→σ3=σ31e1+σ32e2+σ33e3．即有σi=σijej．(3)约定σij中的第一个下标i表示面元的法线方向

6、，第二个下标j表示应力分解的方向．当i=j时，应力分量垂直于面元，称为正应力;当i≠j时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力，记为τij．2斜面应力公式和边界条件2．1斜面应力公式为了描述过一点处任意微分面上的应力状态，先要给出物体内一点的九个应力分量与通过同一点的［4］各微分面上应力之间的关系．下面将用平衡原理导出斜面应力计算公式．设在给定点P，应力分量σij是已知的．考虑图3中的四面体PABC，它由三个负面和一个法向矢为ν的斜截面组成，且→→→→ν=ν1e1+ν2e2+ν3e3=νiei，(4)即有→→νi=ν·ei．(5)设斜面ΔABC的面积为ds，则三个负

7、面的面积分别为ds1=ΔMBC=ν1ds，ds2=ΔMCA=ν2ds，(6)ds3=ΔMAB=ν3ds．四面体的体积为1dV=dhds，(7)3其中dh为定点M到斜面的距离，设f为单位体积力，则四面体上作用力的平衡条件为:σνds－σ1ds1－σ2ds2－σ3ds3+fdV=0．(8)dV将(8)式等号两边同除以ds，且注意当ds→0时，→0，得ds第31卷第5期王芳:论应力状态理论27→→→→→→σν=σ1ν1+σ2ν2+σ3ν3=νiσi=νiσijej，(9)这就是斜面应力公式．这样，把要了解各点的应力状态问题化为了求出各点的九个应力量的问题．2．2边界条