【6A文】标准正交基.ppt

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1、一、正交向量组二、标准正交基§2标准正交基三、正交矩阵§2标准正交基设Ｖ为欧氏空间，非零向量①若则是正交向量组.②正交向量组必是线性无关向量组.一、正交向量组定义：如果它们两两正交，则称之为正交向量组.注：§2标准正交基证：设非零向量　　　两两正交.令则由　知故　　　　　　线性无关.§2标准正交基④维欧氏空间中正交向量组所含向量个数③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．例如：　　中线性无关．但　　　不是正交向量组.§2标准正交基1.几何空间　中的情况在直角坐标系下是由单位向量构成的正交向量组，即二、标准正交基是的一组基.§2标准

2、正交基设①从②③得④即在基　下，中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式.§2标准正交基维欧氏空间中，由个向量构成的正交向量组称为正交基；2.标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为标准正交基.注：①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.§2标准正交基②维欧氏空间V中的一组基　为标准正交基③维欧氏空间V中的一组基为标准正交基当且仅当其度量矩阵(1)④维欧氏空间V中标准正交基的作用:设　为V的一组标准正交基，则§2标准正交基(i)设由(1)，(ii)(3)这里(iii)有(2)§2标准正交基(定理1)维欧氏空间中任一个正交向

3、量组都能扩充成一组正交基.证：设　　　欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对　　　作数学归纳法．当　时,3.标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程就是一组正交基了.1）§2标准正交基使假设　　时结论成立，即此时可找到向量成为一组正交基.现在来看　　　的情形.所以必有向量不能被　　线性表出，因为作向量待定．§2标准正交基从正交向量组的性质知于是取即　为正交向量组．由归纳法假设知，对这　　个向量构成的正交组可得可扩充得正交基.于是定理得证．§2标准正交基2）都可找到一组标准正交基　　　　　使证：基本方法─逐个构成出满足要求的(定理2)

4、对于维欧氏空间中任一组基首先，可取§2标准正交基一般地，假定已求出　是单位正交的，且(4)当　时，因为有由(4)知不能被　　线性表出．按定理1证明中的方法，作向量(5)即§2标准正交基再设可知　　　　是单位正交向量组．从(4)和(5)知　　　　与是等价向量组，因此，有由归纳原理，定理2得证.则　　　　且§2标准正交基则过渡矩阵　　　　是上三角形（即　　　　）注：且①由知，若§2标准正交基②Schmidt正交化过程:化成正交向量组先把线性无关的向量组再单位化得标准正交向量组§2标准正交基例1.把变成单位正交的向量组.解：令正交化§2标准

5、正交基再单位化即为所求．§2标准正交基例2.在　　中定义内积为求　　的一组标准正交基．(由基　　　出发作正交化)解:取正交化§2标准正交基§2标准正交基§2标准正交基单位化§2标准正交基于是得　的标准正交基§2标准正交基设与　　　是维欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是即4.标准正交基间的基变换或由于　　　　　是标准正交基，所以（6）§2标准正交基由公式（3），有（7）把A按列分块为由（7）有（8）§2标准正交基则称A为正交矩阵.2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.三、正交矩阵1．定义设若Ａ满足2．简单性质1

6、）A为正交矩阵§2标准正交基3）设　　是标准正交基，A为正交矩阵，若则　　　也是标准正交基.4）　　为正交矩阵A的列向量组是欧氏空间的标准正交基.6）　　为正交矩阵A的行向量组是欧氏空间的标准正交基.5）　　为正交矩阵§2标准正交基作业P39578