华杯赛初二辅导第十讲高斯函数

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1、标准实用华杯赛初二辅导第十讲高斯函数一、知识概要1.定义：设，用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数，也叫取整函数.显然，的定义域是R，值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即，因此，，这里，为的整数部分，而为的小数部分.2．性质（1）函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有；（2），其中；（3）；（4）若，则其中；（5）对于一切实数有；（不是整数时）（是整数时）（6）若，则；（7）文案大全标准实用（8）若，则；当时，；（9）若整数适合（是整数，），则；（10）是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个；（11）设为任一素数，在中含的最

2、高乘方次数记为，则有：．证明：由于是素数，所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总和。由性质10可知，在中，有个的倍数，有个的倍数，有个的倍数，，当时，，所以命题成立．文案大全标准实用高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用．解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等．一、解题示例例1若实数使得，求．解：等式左边共73项，且因都小于1，则每一项为或，注意到，故必有。进一步有：，所以原式

3、左边从第1项至第38项其值为7，自第39项以后各项值为8。即：例2，计算：的值．解：由题意得：对于任意的，文案大全标准实用说明：本例采用了分组凑整的思想．例3，对自然数及一切实数，求证：．（厄尔密特等式）证明：对任意的自然数，构造函数，则：，所以，函数为周期函数，其周期，因此，原命题只需证在区间内成立即可。而这一结论显然是成立的．例4对任意的，证明：．证明：首先证明．令，则．当时，，于是，那么；文案大全标准实用当时，，即，那么．所以命题成立，也就是：．故：．又：注：本例的证明采用了“两边夹”法则．例5，解方程．解：令，则，带入原方程整理得：，由高斯函数的定义有，解得：

4、，则．若，则；若，则．文案大全标准实用注：本例中方程为型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解．例6，解方程．解：由高斯函数的性质，得：，即，令，在同一坐标系中画出二者的图象：分析两者在区间内的图象，显然，当时，而，方程不成立；当时，；文案大全标准实用当时，；当时，而，方程不成立．综上所述，原方程的解是：．注：本例为型方程。首先由，求出的取值区间。但此条件为原方程成立的充分但不必要条件，故还须利用和的图象进行分析才能得到正确结果．例7解方程．解：对于次数较高的含的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法。若，则原方程不成立；若，则。原方程不成立；若，则原方程不成

5、立；若，则原方程即为；解得：；若，则原方程不成立；文案大全标准实用所以，原方程的解为：。例8证明：若是大于2的质数，则被整除．证明：本例采用“构造法”．由二项式定理知：对于任意的是一个整数，又因为，于是有：,其中是质数。因为都能被质数整除，所以原命题成立．一、巩固练习1．如果x为任意实数，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[-7]=7，[-3.1]=-4，[]=1，则满足等式[x]-3=0的x的范围是____________．2．若[x]=5，[y]=-3，[z]=-1,mj[x–y–z]可以取值的个数是（）．A．3B．4C．5D．6文案大全标准实用3．设[x]表

6、示不超过x的最大整数，若M=，其中x≥1，则一定有（）．A．M>NB．M=NC．M

7、而小于10B．大于或等于9而小于10C．大于9而小于或等于10D．整数7．设x表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（）A．[x]=

8、x

9、B．[x]≥C．[x]>-xD．[x]>x–18．记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且．A．I>0B．I<0C．I=0D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现．9．设x≥0，求证：10．记[a]为不大于a的最大整数，{a}=a–[a]，求证：如果{x}+{y}=1，则[x+y]=[x]+[y]+1．11．如果a为任意实数，用[a]表示不大于a的最大整数，例如[-5]=-5，文案大全