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时间:2019-02-13
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1、罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用单位:旅游系专业:酒店管理姓名:王姐学号:1414061039【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中,其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理,又称拉式定理,是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用,也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用,在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。【关键词】罗
2、尔定理、拉格朗日定理、重要应用。引言拉格朗日定理是高等数学的基础,同时也是一个基础性的定理,在高等数学中有着重要作用,要学习和掌握它的证明方法。罗尔定理:如果函数满足条件:在闭区间上连续;在开区间内可导;在区间两个端点的函数值相等,即,,使得。罗尔定理的证明:因为函数在闭区间上连续,所以它在上必能取得最大值和最小值。(1)如果,则在上恒等于常数,因此,在整个区间内恒有,所以,内每一点都可取作,此时定理显然成立。(2)如果,因,则数与中至少有一个不等于端点的函数值,设,这就是说,在内至少有一点,使得。下
3、面证明。由于是最大值,所以不论为正或负,恒有,。当时,,有已知条件存在可知,;当时,有,于是。拉格朗日定理:设函数满足条件:在闭区间上连续;在开区间内可导,则至少存在一点,使得:或。拉格朗日定理的证明:。有定理假设易知满足条件:在闭区间上连续;在开区间内可导;,因此,有罗尔定理可知,至少存在一点,使得:,即。对于,由于它介于与之间,由此可将表示成。其中,于是拉格朗日公式也可以改写为:,于是,罗尔定理是拉格朗日定理时的特殊情况。拉格朗日定理在不等式中的应用求证:时,。证明:1.时,,存在。2.时,,存在
4、,只要证。,,又,。结束语通过对罗尔定理与拉格朗日定理的证明,发现采用的是构造辅助函数的方法,还讲述了罗尔定理即拉格朗日定理在不等式当中的应用。参考文献华东师范大学数学系.《数学分析》上册.高等教育出版社,2001张桥艳.微分中值定理的应用.保山师专学报.2009张勇.微分中值定理的认识及推广.消费导刊.2009
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