特征值和特征向量问题

《特征值和特征向量问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第四节特征值和特征向量问题特征值和特征向量问题多自由度系统的无阻尼自由振动的运动微分方程为[M]{x}4-[^]{x}={0}（6-54）若系统自由度为n,则质量矩阵[M]和刚度矩阵[□都是nXn的对称方阵，位移向量{%}和加速度向量{釘都是n维列向量。由二自由度系统知，多自由度系统的无阻尼自由振动是按相同的频率和相同的相位作简谐振动。即系统作同步振动。故可设方程（6・54）的解为Unu{卜sin⑷/+0)={%}sin(©f+0)则{釘=一砺{%}sin（©/+0）将位移向量{兀}和加速度向量{釘代入方程

2、（6・54）,得（阴-o}n[M]）{u}sin（引+0）={0}因为sin（©F+0）不能恒等于零，故有（阴-研网）{%}={0}（6-55）这是一个广义特征值问题，砺是特征值，{%}是特征向量。[B]=[k]-^[M]则矩阵[B]称为特征矩阵。因为方程(6・55)是一个齐次方程组，其有非零解的充要条件为特征矩阵[B]的行列式等于零，即这就是特征方程。从特征方程可以解出特征值研，则血就是系统的固有频率。对于n自由度系统，特征方程是研的n次代数方程，则系统有n个固有频率©1，02，…，©”将求得的第i阶固有

3、频率%(i=1,2,…,n)代入方程(6-55),就可以求得相应的振型向量{砒(i=l,2,…,n)。贝！1{町就是对应于第i阶固有频率％.的振型向量，它是一个n维列向量。将求得的n个振型向量{%},依次排列构成一个nXn的矩阵：u-{%}nxn则⑷称为振型矩阵。注意:（1）由于方程（6・55）是齐次的，所以通过方程（6・55）可以得到对应于第i阶固有频率（i=12…小）振型向量u{{^}=a=i,2,…〃）中的n个振幅（%），（色）,，・・・，（色）之间的比例关系,而不能求出各个振幅⑺），仇2）「•

4、••，（%,）的确定数值。（2）一个系统的固有频率和振型向量完全决定与系统本身的物理性质（惯性、弹性），而与任何主观的人为因素无关,例如初始条件、激励和广义坐标的选择等等。（3）对于某一个固有频率©厂有唯一的振型向量{可.与之I对应。这里唯一性是指振型向量中任意两个分量（%）,（%”）（Z,^=1,2,•••,«,l^m）之间的比值，而分量本身的值是任意的。（4）如果{%}.是系统的一个振型向量，则a{u],（a是任意非零常数）也是系统的一个振型向量；如果{可,,{4是系统的两个振型向量，则/Ja{u}.+

5、^{u}.（cr和0是任意非零常数）也是系统的一个/J振型向量。二、特征值和特征向量问题的求解例题：图示系统，已知：m、=m：==m，k}=k2=k3=k4=ko(1)写出系统的振动微分方程；(2)计算系统的固有频率和振型向量。X1X2X3ki解：(1)系统的振动微分方程为~2k-k0_兀10—k2k—k0-k2kX,+(2)计算系统的固有频率和振型向量-a}n-o}n[M]=0,得2k一mar=-k-k2k一m此-k0-k=02k一展开，得特征方程—2k"2k—m必=

6、0解得系统的三个固有频率振型向量与特征矩阵［B］=［k］-^］的伴随矩阵［B］“的任一非零列成比例。特征矩阵为[B]=[k]-^[M]2k——k-k2k-mc(^0-k0-k2k一特征矩阵［B］的伴随矩阵［B『为(2k-m^-k2k(2k-(2£—YYlO^i)k{lk-k2k(lk-(2k-m^)-k2把第一阶固有频率叫代入伴随矩阵的任一非零列（例如第一列，如果各元素全是零，可换另外一列），得第一阶振型向量阵［3『的第一列，得-k2'{吐=<0>，何3=<-娅2>k2k2同理，把第二和三阶固有频率©2,©

7、3也分别代入伴随矩因为每一个振型向量中有一个任意常数，故可根据需要归一化。例如令每一个振型向量中的第一个元素为1,则其他兀素都要除以第一个兀素。于是三个归一化的振型向量为1{«}j=1第三阶振型图