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1、5A版优质实用文档数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有……，165A版优
2、质实用文档5A版优质实用文档经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。(20XX全国卷I.22)已知数列中,,其中……，求数列的通项公式。P24（styyj）例3.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2（1）递推公式为
3、解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(20XX全国卷I.15)已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项165A版优质实用文档5A版优质实用文档P24（styyj）例4.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，（2）．由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有，，，依次向前代入，得，简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。（1）递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．例5．设数列：，求.解：设，将
4、代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,165A版优质实用文档5A版优质实用文档（）两式相减得转化为求之.例6．已知，，求。解：。类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。(20XX.重庆.14）在数列中，若，则该数列的通项P24（styyj）例7.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4递推公式为（其中p，q均为常数，
5、）。（或,其中p，q,r均为常数）（20XX全国I.22）（本小题满分12分）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；P25（styyj）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例8.已知数列中，,，求。165A版优质实用文档5A版优质实用文档解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。（20XX.福建.理.22）（本小题满分14分）已
6、知数列满足（I）求数列的通项公式；P26（styyj）例9.已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。类型6递推公式为与的关系式。(或)165A版优质实用文档5A版优质实用文档解法：利用进行求解。(20XX.陕西.20)(本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项anP24（styyj）例
7、10.已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例11.已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即…………………………………………（1）又因为所以…….即………………………（2）由（1）、（2）得：，165A版优质实用文档5A版优质实用文档四、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于
8、给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=
