高三数学专项精析精炼2011年考点30直接证明与间接证明

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1、考点30直接证明与间接证明解答题1.(2011・湖南高考理科.3JT22)CI3分)已知函数f(x)=X,g(x)=x+'x.(I)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数，并说明理由；(n)设数列{an}(ncN*)满足aia(a6),f(ani)^g(aj证明：存在常数M使得€<对于任意的nN*,都有anM.【思路点拨】本题以函数为载体，考查函数的零点、方程的解、函数图象的交点之间的相互转化，兼顾考查导数的运用•进而以函数为载体引出数列再考查数列•函数和方程思想、数形结合思想、等价转化思想，由线问题转化为点问题.综合能力很强，要求学生有深层次的思维能力和逻辑推理能力•较好的数

2、学素养是解决本题的关键・【精讲精析】=2-一广E+8=fl)rh彳h(x)xxx知，x[0,,而h(0),且=—v=—>=h(1)hi0,(,2则)x06为h(x)2的一个点，且h(x)在⑴2)内有零点,因此h(x)至少有两个零点解法1：21h'(x)3x1€+ocQ1Q2X，记(X)一—12123x1x,则+乂2-丁―321'(xb6x甘冷4当x(0,)时，'(x^0,因护坐)在(0,»上单调遽,则(X)在(0,浙至多只有曲零点•又因为(1)30,()33a则(x)在(」)3内有零点，所以(X)在€+oO®>❾—(0,)内有且只有一个零点・记此零点为Xi,则当x(0,Xi)时，(x

3、)(X1)0；当€=x(x,)吋，(x)(x)0；11€+oc+oo所以，当x(0,为)时，h(x)单调递减，而h(0)0,则h(x)在(0,x［内无零点；+oC当x(x,)时，h(x)单调递增，则h(x)在(X1,)内至多只有一个零点;1从而h(x)在(0,)内至多只有一个零点•综上所述，h(x)有且只有两个零点1解法h(x)=x(x)，记1Q_2弋Q(x)=X十X,贝V'(x)

4、Il)记h(x)的正零点为X,即乂3vK

5、nNXo成立.时,ax成立.k104)知,厂^化)在旷a。，)上单踰增h(a)li(x)0,即03aaa.从而3a2<学归纳法证明：=n①当n1时，aa显然成(k1)时，有a£零3aaa知,a2由此猜测：ana・下面用数②龈n'{J成立，则当n1时,3aaak1kk故对任意的小K

6、*nN综上所述，存在常

7、数时,a成立.1