基于一类具有双线性发生率的传染病模型研究

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1、基于一类具有双线性发生率的传染病模型研究陈贺(吉林省通榆县第一医院吉林通榆137200)【摘要】木文研究了一类具有因病死亡因素的SIR传染病模型和一类具有接种免疫的SIR传染病模型。具有因病死亡因素的SIR传染病模型中，讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov函数，在经典SIR模型的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR传染病模型。【关键词】SIR传染病无病平衡点全局渐近稳定性接种免疫【中图分类号】R39【文献标识码】A【文章编号】2095-1752(2013)23-0362-02引言2009年，卫牛部和联合国艾滋病规划署、世界卫牛组织联合

2、评估结果表明:截至2009年底，中国现存活艾滋病病毒感染者和病人约74万人，其中病人约10.5万人;2009年新发感染者约4.8万人,因艾滋病相关死亡约2.6万人，截至2010年10月底,累计报告艾滋病病毒感染者和病人37万余例，其中病人13万余例，死亡6.8万余例。历史和现实都告诫我们:人类正面临着种种传染病长期而严峻的威胁,对传染病发病机理、流行规律和防治策略的研究有重要意义和实际价值。1传染病动力学的几个基本概念1.1有效接触率、传染率和标准发牛率传染率是传染病动力学模型中的一个非常重要且不可缺少的项，设病人传染是通过与他人接触形成的,单位时间内一个病人与他人接触的次数称为接

3、触率，它通常依赖环境中的总人口数N,记作U(N)o如果被接触者为易感者，就会有一定程度的传染，设每次传染的概率为β0,把赋有传染概率β0的接触称为有效接触，这时的接触率称为有效接触率，即β0U(N)o应当注意,一般来说总人口中除易感者和患病者之外还可能包含有疾病免疫者和潜伏者，当病人与非易感者接触时不会发牛传染，而易感者S在总人口N中所占比例为S・N,因此,每一病人平时对易感者的有效接触率为βOU(N)S-N/t!l就是每一个病人平均对易感者的传染率，简称为传染率。从而，时刻单位吋间内被所有病人传染的人(即新病人)数为称为此疾病的发生率。当总

4、人口数很大吋，疾病的发生率一-般为，这种发生率称为标准发生率.本文采用标准发生率。1.2基本再生数对于经典的传染病模型，有一个量R0被称为基本再生数,它表示在发病初期，当所有人均为易感者吋，一个病人在平均患病期内所传染的人数。RO=1表示疾病是否消亡的阀值;当RO<1,则表示一个病人在平均患病期能传染的最大人数小于这时疾病自然逐渐消亡;反之，若RO>1,疾病将始终存在而形成地方病。2带有接种免疫的传染病模型2.1带有接种免疫的传染病模型的建立传染病通常由病毒或细菌引起，由细菌引起的传染病的传播规律往往符合SIS、SIRS等传染病模型，而由病毒引起的传染病的传播规律往往符合SI、SI

5、R等传染病模型，对此已有大量的研究结果。基于经典的具有常数输入率和双线性传染率的SIR模型，建立一啖具有接种的SIR—V传染病模型，因此，将总种群分为四类:易感类(S),染病类(I),恢复类(R)和被接种类(V),分别以S(t)川t),R(t)和V(t)表示各类在t吋刻个体的数量。假设仅对易感类中的个体进行接种，并口被接种者经过一段时间后又会丧失免疫力而成为易感者。2.2相关参数分析在具有接种免疫的传染病模型中引入的参数如下：A表示对种群的常数输入率；d>0表示种群的自然死亡率；ρ≥0表示易感者被接种率；β≥O表示疾病的传播系数；γ≥

6、O表示染病者的恢复率；α≥O表示染病者的因病死亡率；Q(t)(t≥O)表示被接种者在失去免疫而返冋到易感类之前t吋间段内仍具有免疫力的概率•根据假设，有(2-1)其中VO(t)表示0吋刻具有免疫力到f吋刻仍具有免疫力的被接种的个体数，函数VO(t)是非负的单调不增的分段连续函数。根据实际背景，假设(2・1)的初始条件为(4-2)容易知道在初始条件下(4・2)对t≥O存在唯一的解。2.3传染病模型应用分析在经典SIR模型的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR传染病模型，通过理论分析证明其渐近稳定性，讨论模型的无病平衡点和地方病平衡点•通过线性化方法和Ly

7、apunov函数，得到如下结论：存在无病平衡点，当R1>1吋还存在唯一的地方病平衡点；,当Rl≤lPl在D上是全局渐近稳定的；当R1>1吋P2在D内是全局渐近稳定的.与传统的统计方法相比，利用该模型能够更好地了解流行过程中的一些全局性态。结语本文找到了基本再生数:,由定理5可知，疾病的灭绝与否完全由基本再生数R0决定，如果RO<1,无病平衡点E0在系统⑵内全局渐近稳定，疾病总会最终消除如果RO>1则存在唯一的地方病平衡点，且它是全局部渐近稳定的，最终形成地方病。