三角多项式曲线与其等距线的有理逼近分析

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1、宁夏大学硕fj学位论文第‘一帚绪论CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲面，例如柱、锥、球面等，常用隐函数或二次方程的显函数来表示．但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品设计中，存在大量的曲线曲面是不能用二次方程来描述，这类曲线曲面称为自由曲线(FreeFormCurves)和自由曲面(FreeFormSurface)，自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，成为工程师们首先要解决的问题协1．曲线曲面造型(Curve／SurfaceModeling)是计算机辅助几何设计(CAGD)和计算机图形学(ComputerGraphic

2、s)的一项重要内容，主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析．如今经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(RationalB-splineSurface)参数化特征设计和隐式代数曲面(ImplicitAlgebraicSurface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系H1．随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日益明显，随着图形工

3、业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，曲线曲面造型近几年得到了长足的发展，这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新．从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性H1．·曲面变形(SurfaceDeformationorShapeBlending)为了更方便、直观地构造和编辑三维形体，Rarr率先将变形思想引入到几何造型领域哺1．传统的NURBS曲面模型仅允许调整控制项点或权因子来局部改变曲面形状，至多利

4、用层次细化模型在曲面特定点进行直接操作一些简单的基于参数曲线的曲面设计方法，如扫掠法(Sweeping)、蒙皮法(Skinning)、旋转法和拉伸法也仅允许调整生成曲线来改变曲面形状．计算机动画业和实体造型业迫切需要与曲面表示方式无关的变形方法或形状调配方法，于是产生了自由变形(FFD)法㈣、扩展的自由变形(EFFD)法H1、直接控制自由变形(DFFD)法、基于B样条表示的变形造型、基于NURBS自由变形造型以及有理自由型变形(砌FFD)造型等隋1．·曲面重建(SurfaceReconstruction)曲面重建是根据己有曲面去构造反映其形式的数学模型，正好与根据数

5、学模型生成符合其要求的曲面制造的过程相反，所以工程上又称曲面重建为逆向工程(Reverseengineering)．根据曲面重建的形式，它可分为函数型曲面重建和离散型曲面重建．前者的代表工作有Eck于1996年建立的任意拓扑B样条曲面自动重建法旧1．后者的常用方法是建立离散点集的平面片或曲面片逼近模型¨01．·曲面简化(SurfaceSimplification)曲面简化是从三维重建所得到的离散曲面或造型软件所输出的三角网格中，在保证必要精度的前提下去除冗余信息，以利于图形显示的实时性、数据存储的经济性和数据传输的快速性．与2宁夏人学硕{：学何论文第。章绪论曲面重建

6、一样，这一研究领域目前也是国际热点之一．其代表方法有网格顶点剔除法、网格边界删除法、网格优化法、最大平面逼近多边形法、多分辨率方法以及基于球面三角形的几何逼近技术．·曲面转换(SurfaceConversion)曲线曲面形式的互化，指的是同一条(张)参数曲线(曲面)用不同多项式基来表示时不同特征网格之间的相互转化，或者指拓扑结构不同的矩形曲面片与三角曲面片的相互转化，或者指参数曲线曲面隐式化(Implicitization)和隐式曲线曲面参数化(Parameterization)．这一思想不仅具有理论意义，而且具有工业应用的现实意义．例如，NURBS这种参数有理多项

7、式曲面虽然包括了参数多项式曲面的一切优点，但也存在着微分运算繁琐费时、积分运算无法控制误差的局限性，而在曲面拼接及物性计算中，这两种运算是不可避免的．这就提出了将一张曲面转化成近似的多项式曲面的问题．同样的要求更体现在NURBS曲面设计系统与多项式曲面设计系统之间的数据传递和无纸化生产的工艺中．再如，在两张参数曲面的求交运算中，如果把其中一张曲面的NURBS形式转化为隐式，就容易得到方程的数值解．近几年来，国际图形界对曲面转换的研究主要集中在以下几方面⋯1：NURBS曲面用多项式曲面来逼近的算法及收敛性；B6zier曲线曲面的隐式化及其反问题；CONSURF飞机