（全国通用）2018年高考数学考点一遍过专题10函数模型及其应用（含解析）理

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1、考点10函数模型及其应用考徊原夂(1)了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增反等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.箱知识整今一、常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f[x)=cix--b为常数，0工0)反比例函数模型=・+b伙"为常数且£工0)X二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a.b.c均为常数，aH())指数函数模型f(x)=abx+c(a,h,c均为常数，

2、口工0,b>0,bHl)对数函数模型/(x)="2log"x+n(m.n.a为常数，m丰0,a>0,aHl)幕函数模型f(x)=cixn+b〈a,b,n为常数，°工0,/?工1)几类函数模型的增长差异函数性质y=ax(a>1)yiog“x(a>i)y=x"(斤>0)在(0,+8)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之间，相对平稳图彖的变化随x的增大，图象与y轴接近平行随/的增大，图象与轴接近平行随〃值变化而各有不同值的比较存在一个兀0，当兀>

3、如时，有logflx<

4、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.典例引领典例1食品安全问题越來越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带來一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入（单位：万元）满足P=80+4屈,0=丄^+120,设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为/（

5、%）（单位：万元）.(1)求/(50)的值;（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益/（无）最大？【解析】（1）因为甲犬棚投入50万元，则乙犬棚投入150万元，所^/（5O）=8O+4x^5O+1x150+120=277.5.4<2）0=80+碍+=（200-0+120=-c+4亦+250,依题意得伫严解得44[200-x>2020

6、28时,44/（兀）max=282•所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.【名师点睛】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意白变量的取值范1*1.变式拓展1.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元吋，可全部租115,当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少

7、元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？考向二指数函数、对数函数模型的应用（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y二N（l+〃）"（其中艸为基础数，”为增长率，/为时间）的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.（2）已知对数函数模型解题是常见题熨，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.典例引领典例2一片森林原来面积为勺计划每年砍伐一些树，且使森林而积每年比上一年减少閃,10年后森林面积变为纟.为保护牛态环境,森林面积至少要保留原面

8、积的丄，己知到今年为止，森24林面积为至a.2（1）求册的值;（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？【解析】（1）由题意得"（1-卩％）”=£即（1-=-⑵设经过碍森林面积变呼,则"(1-P%)"=-故到今年为止，已歐伐了5年.（3）设从今年开始0、后还可故伐«年，则«年后的森林面积为乎e（l-戸％）",故今后最多还能砍伐15年.典例3我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的