[教学]初中数学中整体思想的应用及解题策略

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1、初中数学中整体思想在代数中的应用有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析,运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整休特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整休思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等.在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、儿何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多別具创意、独特新颖的涉及整

2、体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方而具有独特的作用.下而就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会.一、整体代换整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或儿个代数式，将它们看成一个整体,灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的H的。例1：已知0+沪=2007,h+d2=200Sfc+d?=2009,且ahc=24,求ahc111,,*一+—+的值。becaahahc解析：由已知解出a、b、c的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：由已知可得：a-b=-,b-c

3、=-,c-a=2贝U存(1+1+4)冷原式=—!—(a2+/?2+c2-bc-ac=ab)abc—[(a-b)2+(&-c)2+(c-a)2]=2abc二、整体设元整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。例2：计算:（1一—・._爲）（土+”・.+血）fJ—■■■—■■■—»I・I（I■»I»—■卜■■口I2320082342007解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设*+*}•••+躺(1—a)(a+

4、)_(1—a)ci2008200812=Q(12008a2+Q2008+200812008三、整体变形整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。例3：计算：99…9x99…9+199…99v~V_'V~V_'S7'2008个92008个92008个9解析：观察式了特点，用凑整法可简化运算。原式=99…9x(99・・・9+l)—99・・・9+199・・・99X~V~~7~S~V~VV'2008个92008个92008个92008个9二99…

5、9x100…0+100・・0J/J丿Jy2008个92008个02008个0=100・・・0x(99…99+1)sV'X7'2008个02008个9=100--0sV'4016个0四、整体补形整体补形是补充完整，根据题设条件将原题屮的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形Z间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法。例4：如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=60°,ZB=ZD=90°,求四边形ABCD的面积。解析：这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角

6、形或规则的四边形，所求图形的而积恰是两个图形而积的差。延长AD.BC相交于点E,如图1在RtABE屮，ZA=60°,AB=2/.BE=ABtanA=2^3在RtACDE"',CD=1,ZECD=180°-ABCD=60°・•.DE=CDtanZECD=lxtan60°=V3ABCDS-V°ACDE=LABBE-LCDDE=1x2x2V3-

7、x1x^=^说明：本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等边三角形或平行四边形,如图2—图5o五、整体配凑整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使Z

8、结构形式特殊化、公式化,再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的冃的。例5：若d+2b+3c=12,Ha2+h2+c2=ah+he+ca,贝ijd+戻+c2=解析：要求a+^+c1的值，需求b、c的值，但己知等式只有两个，若按常规方法是无法解决的，注意到a2+b2+c2=ab+bc+ca,可采取整体配凑的方法，借助于非负数的性质,找出b、c之间的关系，再利用d+2b+3c=12就可以求出&、b、c的值。事实上，由a1+b~+c2=ab+bc+ca,有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-lea=0,

9、即(a-b)2+(b-c)2-^-(c-a)2=0,故a—b=ct将之代入a+2b+3c=12有a=b=c=2,tttz+/?2+c2=10六、整体构造整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利川数形结合的思想来解答问题。例6：已知0vxvl2,试求J/+4+J(12—x)2+9的最小值。解析：作出图6,赋予以上式子如下的儿何意义，AC=W+4,CE=J(12-x)2+9,所以求a/x2+4+7(12-x)2+9的最小值，即求C